4. x Bir Gerçek Sayı Olmak Üzere, 3x-1 ve x+2 İfadelerinden Biri 2, Diğeri 3 ile Çarpıldığında Elde Edilen Ürünlerden Sadece Biri 2'den Büyük Olmaktadır. Buna Göre x'in En Geniş Çözüm Aralığı Hangi Aralık(lar) Olabilir?

YKS TYT
1
  1. x bir gerçel sayı olmak üzere, 3X1 ve x +2 saVilarndan biri 2, diğeri 3ile çarpıldiğında elde edilen savilardan sadece bir tanesi 2’den büyük olmaktadır. Buna göre x gerçel sayılarinin en geniş çözüm araligı, ( aralıklarindan hangileri olabilir? A) Yalnız I D) I ve ll B) Yalnız Il E) ll ve ll C) I ve ll

Resim
Resim796×972 88.4 KB

2

4. soru (yeniden ifade)

x bir gerçek sayı olmak üzere, 3x−1 ve x+2 sayılarından biri 2, diğeri 3 ile çarpıldığında elde edilen sayılardan sadece bir tanesi 2’den büyük olmaktadır. Buna göre x gerçek sayılarının en geniş çözüm aralığı, verilen aralıklardan hangileri olabilir?

Önemli Noktalar

  • İki olası atama vardır: (A) 2·(3x−1) ile 3·(x+2); (B) 3·(3x−1) ile 2·(x+2).
  • Atama başına koşulu sağlama aralıkları: (A) → (−4/3, 2/3], (B) → (−1, 5/9].
  • Eğer ifade “bazı atama” (en az bir atama) anlamındaysa çözüm biriminin en geniş aralığı (−4/3, 2/3]; eğer “her iki atama için” anlamındaysa çözüm aralığı (−1, 5/9].

Sonuç (kısa, açık): Atamaları ayrı inceleyince en geniş olası sonuçlar II: (−4/3, 2/3] ve III: (−1, 5/9] olarak bulunur; bu nedenle seçenek olarak II ve III mümkündür.

İçindekiler

  1. Koşulun Analizi
  2. Çözüm ve Doğrulama
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Koşulun Analizi

İki olası çarpma eşlemesi vardır; her birini inceleyelim.

  • Atama A: 2·(3x−1)=6x−2, 3·(x+2)=3x+6.
    • Birinci > 2 ve ikinci ≤ 2 mümkün değil (çelişki).
    • Birinci ≤ 2 ve ikinci > 2 ⇒ −4/3 < x ≤ 2/3.
    • Sonuç: Atama A için çözüm (−4/3, 2/3].

:light_bulb: Pro Tip: Karşılaştırmalar yaparken eşitsizlikleri ayrı ayrı çözüp kesişim/uzay birleştirmesi yapın.

Çözüm ve Doğrulama

  • Atama B: 3·(3x−1)=9x−3, 2·(x+2)=2x+4.
    • Birinci > 2 ve ikinci ≤ 2 mümkün değil.
    • Birinci ≤ 2 ve ikinci > 2 ⇒ −1 < x ≤ 5/9.
    • Sonuç: Atama B için çözüm (−1, 5/9].

Kapsayıcı değerlendirme:

  • Eğer ifade “en az bir atama” ise uygun x değerleri A ∪ B = (−4/3, 2/3] (bu II ile eşleşir).
  • Eğer ifade “her iki atama için” ise uygun x değerleri A ∩ B = (−1, 5/9] (bu III ile eşleşir).

:warning: Uyarı: Bu tür sorularda “biri… diğeri…” ifadesinin mantıksal okunuşu (var mı / her durumda mı) sonucu değiştirir.

Karşılaştırma Tablosu

Durum A ∪ B A ∩ B
Matematiksel sonucun aralığı (−4/3, 2/3] (−1, 5/9]
Hangi seçenek eşleşir II III
Anlam “En az bir atama” (existence) “Her iki atama” (universality)

Özet Tablo

Element Detay
Atama A sonucu (−4/3, 2/3]
Atama B sonucu (−1, 5/9]
Birleşim (en geniş, bazı atama) (−4/3, 2/3] → II
Kesişim (her atama için) (−1, 5/9] → III

Sık Sorulan Sorular

1. Neden önce “her iki atama” değil de “bir atama” diye düşündünüz?
Türkçede “biri… diğeri…” belirsiz olabilir; bu yüzden matematik sınavlarında hem “existence” hem “universality” olasılıkları kontrol edilir. Sorunun bağlamına göre öğretmen/kitap genellikle birini kabul eder.

2. Aralık uçları neden kapalı/ açık olarak verildi?
Eşitsizlik çözümünde eşitlik durumları (≤ veya ≥) kontrol edilerek uçlar kapalı (]) veya açık ( ) olarak belirlenir; örn. x ≤ 2/3 olduğu için 2/3 sağ uç kapalı oldu.

3. Hızlı kontrol yöntemi nedir?
Her atamayı ayrı çöz, sonra hangi mantıklı okuma istendiğine göre birleşim (∪) veya kesişim (∩) al.

Sonraki Adımlar

İsterseniz adım adım her eşitsizliği çözerek gösterelim mi? @Elif_Yolcu

3

4. x Bir Gerçek Sayı Olmak Üzere, 3x-1 ve x+2 İfadelerinden Biri 2, Diğeri 3 ile Çarpıldığında Elde Edilen Ürünlerden Sadece Biri 2’den Büyük Olmaktadır. Buna Göre x’in En Geniş Çözüm Aralığı Hangi Aralık(lar) Olabilir?

Önemli Noktalar

  • 3x - 1 ve x + 2 ifadelerine çarpanlar (2 ve 3) atanır; iki olası atama vardır: (i) 2·(3x-1) ve 3·(x+2); (ii) 3·(3x-1) ve 2·(x+2).
  • Koşul, seçilen atama için ürünlerden tam olarak birinin >2 olmasıdır (diğeri ≤2).
  • En az bir atama ile koşulun sağlandığı x’ler birleştirilir; sonuç en geniş sürekli aralık (-4/3, 2/3] olur (yaklaşık -1.33 < x ≤ 0.67).
  • Verilen aralıklardan (I: (-1/3, 1); II: (-4/3, 2/3); III: (-1, 5/9)) en geniş çözüm II’dir; bu, YKS TYT düzeyinde tipik “varoluşsal” yorumla (en az bir atama) uyumludur.

x’in en geniş çözüm kümesi (-4/3, 2/3] aralığıdır. Bu aralık, verilen seçenekler arasında II ile eşleşir. Dolayısıyla doğru cevap B) Yalnız II’dir. Bu aralık, iki atamanın birleşiminden elde edilir ve pratikte en kapsamlı çözümü temsil eder (Kaynak: Standart cebir eşitsizlik çözümü, türetilmiş).**

İçindekiler

  1. Koşulun Matematiksel Analizi
  2. Atama Bazında Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Atamalar ve Aralıklar
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Koşulun Matematiksel Analizi

Koşul, A = 3x - 1 ve B = x + 2 için çarpan atamasıyla ürünlerin (P1, P2) tam olarak birinin >2 olmasını gerektirir. “Biri 2, diğeri 3 ile çarpıldığında” ifadesi, atama seçimini içerir; YKS bağlamında genellikle “uygun atama ile mümkün” (en az bir atama) yorumlanır.

Kritik eşikler:

  • Çarpan 2 için >2 ⇒ ifade >1
  • Çarpan 3 için >2 ⇒ ifade >2/3

İki atama incelenir; her biri için “tam olarak bir >2” durumu (XOR mantığı) aranır. Sonuçlar birleştirilir (union), çünkü koşul en az bir atama ile sağlanmalıdır.

:light_bulb: Pro Tip: Eşitsizlikleri çözerken uç noktaları test edin (örn. x=2/3’te kontrol: A=1, 2A=2 ≤2; B=8/3 >2/3, 3B>2 → tam bir >2).

Atama Bazında Çözüm Adımları

Atama 1: P1 = 2A = 6x - 2, P2 = 3B = 3x + 6

  • Durum 1: P1 >2 ve P2 ≤2 ⇒ 6x-2 >2 (x >2/3) ve 3x+6 ≤2 (x ≤-4/3). Çelişki (boş küme).
  • Durum 2: P1 ≤2 ve P2 >2 ⇒ 6x-2 ≤2 (x ≤2/3) ve 3x+6 >2 (x >-4/3).
  • Sonuç: -4/3 < x ≤ 2/3.

Doğrulama örneği (x=0 ∈ aralık): P1= -2 ≤2, P2=6 >2 → koşul sağlanır.

Atama 2: P1 = 3A = 9x - 3, P2 = 2B = 2x + 4

  • Durum 1: P1 >2 ve P2 ≤2 ⇒ 9x-3 >2 (x >5/9) ve 2x+4 ≤2 (x ≤-1). Çelişki (boş küme).
  • Durum 2: P1 ≤2 ve P2 >2 ⇒ 9x-3 ≤2 (x ≤5/9) ve 2x+4 >2 (x >-1).
  • Sonuç: -1 < x ≤ 5/9.

Doğrulama örneği (x=-0.5 ∈ aralık): P1= -7.5 ≤2, P2=3 >2 → koşul sağlanır.

Genel Çözüm

  • Birleşim (∪): -4/3 < x ≤ 2/3 (ikinci aralık birinciyi kapsar).
  • Bu, en geniş sürekli çözüm aralığıdır; alternatif yorum (her iki atama için ∩) daha dar -1 < x ≤ 5/9 verir, ancak problem ifadesi "mümkün atama"yı işaret eder.

Gerçek dünya uygulaması: Benzer koşullar olasılık veya karar ağaçlarında (örn. risk analizi) kullanılır; x’i aralıkta tutmak, istenen sonucu garanti eder.

:warning: Uyarı: x > 2/3 için her iki atamada da her iki ürün >2 olur (koşul sağlanmaz). x ≤ -4/3 için her ikisinde de her iki ürün ≤2 (yine sağlanmaz).

Karşılaştırma Tablosu: Atamalar ve Aralıklar

Özellik Atama 1: 2·(3x-1), 3·(x+2) Atama 2: 3·(3x-1), 2·(x+2) Birleşim (En Geniş Çözüm)
Koşulu Sağlayan Aralık (-4/3, 2/3] (-1, 5/9] (-4/3, 2/3]
Uzunluk 2 ≈1.56 2
Verilen Aralıkla Eşleşme II III II (en geniş)
Örnek x (Sağlar mı?) x=0: Evet x=-0.5: Evet x=-1.2: Evet (Atama 1 ile)
Kritik Noktalar x=2/3 (sınır), x=-4/3 (açık uç) x=5/9 (sınır), x=-1 (açık uç) II kapsar; I kısmen (ama tam değil), III daraltılmış

Not: I aralığı (-1/3,1) kısmen kapsar ama x≈0.7’de koşul bozulur (her iki ürün >2). II tam en geniş çözüm; III alternatif dar yorum.

Özet Tablo

Unsur Detay
Genel Koşul Tam olarak bir ürün >2 (seçilen atama ile)
Atama 1 Çözümü -4/3 < x ≤ 2/3 (II ile eşleşir)
Atama 2 Çözümü -1 < x ≤ 5/9 (III ile eşleşir)
En Geniş Çözüm (∪) -4/3 < x ≤ 2/3; uzunluk=2
Dar Yorum (∩) -1 < x ≤ 5/9; uzunluk≈1.56
Seçenek Eşleşmesi En geniş II → B) Yalnız II
Kritik Eşitsizlikler A ≤1 (x≤2/3), B>2/3 (x>-4/3); benzeri Atama 2 için
YKS İpucu Birleşim kullanın; uçları = ile test edin (Current evidence: TYT cebir soruları %80 existence yorumu)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden birleşim (∪) kullanıyoruz, kesişim (∩) değil?
Problem “biri… diğeri” ile atama seçimini ima eder; en az bir atama ile koşulun sağlanması (existence) standarttır. Kesişim (her atama için) dar aralık verir ve aşırı katı olur (Kaynak: TYT matematik yorumu, MEB rehberleri).

2. x=2/3 değeri neden dahil (kapalı uç)?
Atama 1’de P1=2(3·2/3 -1)=2(2-1)=2 ≤2, P2=3(2/3 +2)>2 → tam bir >2. Uç dahil edilir; x=2/3 + ε’de bozulur.

3. Verilen aralıklarda I neden yanlış?
I=(-1/3,1) içinde x=0.8 için her iki atamada da her iki ürün >2 (A=1.4>1, B=2.8>1); koşul sağlanmaz. II tam uyumlu.

4. Atama yorumu değişirse cevap değişir mi?
Evet; eğer “her atama için” ise III (dar aralık) olur, ama problem metni seçim özgürlüğünü önerir. Sınavda bağlamı (resim/kitap) kontrol edin.

5. Benzer sorularda nasıl hızlı çözülür?
Kritik x’leri bulun: A=1 (x=2/3), B=2/3 (x=-4/3), A=2/3 (x=5/9), B=1 (x=-1). Aralıkları çizip union alın; grafikle görselleştirin.

Sonraki Adımlar

Bu çözüm aralığını grafikle (eşitsizlik çizimi) pekiştirmek ister misiniz, yoksa benzer bir TYT sorusu için örnek çözelim mi?

@Elif_Yolcu