Aşağıda görselde yer alan Test 4 sayfasındaki 9 sorunun (9’dan 17’ye kadar) adım adım detaylı çözümleri yer almaktadır.
9. Soru Çözümü
$$\frac{3,\overline{2} + 1,\overline{3}}{82}$$ işleminin sonucu kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
Devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirme formülü:
\text{Kesir} = \frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Devirli Sayıları Rasyonel Sayıya Dönüştürme
- 3,\overline{2} = \frac{32 - 3}{9} = \frac{29}{9}
- 1,\overline{3} = \frac{13 - 1}{9} = \frac{12}{9}
Adım 2 — Pay Kısmındaki Toplama İşlemi
\frac{29}{9} + \frac{12}{9} = \frac{41}{9}
Adım 3 — Bölme İşlemini Tamamlama
\frac{\frac{41}{9}}{82} = \frac{41}{9} \cdot \frac{1}{82} = \frac{1}{9 \cdot 2} = \frac{1}{18}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı \left(\frac{1}{18}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
10. Soru Çözümü
Aşağıdakilerden hangisi 1’e en yakındır?
KULLANILAN KURAL:
Bir sayının 1’e olan yakınlığı, |x - 1| mutlak farkının küçüklüğü ile belirlenir. Farkı en küçük olan kesir 1’e en yakındır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her Seçeneğin 1’e Olan Uzaklığını Hesaplama
- A) \left|1 - \frac{8}{9}\right| = \frac{1}{9}
- B) \left|1 - \frac{9}{16}\right| = \frac{7}{16}
- C) \left|1 - \frac{10}{11}\right| = \frac{1}{11}
- D) \left|\frac{12}{11} - 1\right| = \frac{1}{11}
- E) \left|\frac{13}{12} - 1\right| = \frac{1}{12}
Adım 2 — Farkları Karşılaştırma
Birim kesirlerde paydası en büyük olan kesir en küçük değere sahiptir:
\frac{1}{12} < \frac{1}{11} < \frac{1}{9} < \frac{7}{16}
Farkı en küçük olan (\frac{1}{12}) sayı 1’e en yakın sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı \left(\frac{13}{12}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11. Soru Çözümü
\frac{15}{2x-3} ifadesinin bileşik kesir olması için x kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
KULLANILAN FORMÜL:
\frac{a}{b} kesrinin bileşik kesir olması için |a| \ge |b| ve b \neq 0 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitsizliği Kurma
|2x - 3| \le 15 \quad \text{ve} \quad 2x - 3 \neq 0
Adım 2 — Mutlak Değerli Eşitsizliği Çözme
-15 \le 2x - 3 \le 15
Her tarafa +3 ekleyelim:
-12 \le 2x \le 18
Her tarafı 2’ye bölelim:
-6 \le x \le 9
Adım 3 — Tam Sayı Adedini Bulma
x’in alabileceği tam sayılar: \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
Paydayı sıfır yapan değer x = \frac{3}{2} = 1{,}5 tam sayı olmadığı için bu kümeden çıkarılacak değer yoktur.
\text{Terim Sayısı} = 9 - (-6) + 1 = 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (16)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
12. Soru Çözümü
a = \frac{13}{15}, b = \frac{17}{19}, c = \frac{7}{9} olduğuna göre, sıralama hangisidir?
KULLANILAN KURAL:
Pozitif basit kesirlerde pay ile payda arasındaki farklar eşit ise, payı ve paydası büyük olan kesir 1’e daha yakın olduğu için daha büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Farkları Kontrol Etme
- a için: 15 - 13 = 2
- b için: 19 - 17 = 2
- c için: 9 - 7 = 2
Adım 2 — Sıralamayı Yapma
Farklar eşit ve kesirler pozitif basit kesir olduğundan:
7 < 13 < 17 \implies \frac{7}{9} < \frac{13}{15} < \frac{17}{19} \implies c < a < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (c < a < b)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
13. Soru Çözümü
x gerçel sayısı için x + \frac{3}{8} ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, x’in virgülden sonraki kısmı kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
Kesirli ifadeyi ondalık sayıya çevirmek için payda 10, 100 veya 1000 yapılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesri Ondalık Sayıya Çevirme
\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0{,}375
Adım 2 — x’in Ondalık Kısmını Bulma
x + 0{,}375 = k (k bir tam sayı) olsun.
x = k - 0{,}375 = (k - 1) + (1 - 0{,}375) = (k - 1) + 0{,}625
x’in virgülden sonraki kısmı 625 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (625)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
14. Soru Çözümü (MSÜ 2025 Çıkmış Soru)
KULLANILAN FORMÜL:
\text{Toplam Uzunluk} = \text{Alt Bölüm Uzunluğu} + \text{Dışarıda Kalan Üst Bölüm Uzunluğu}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bölüm Uzunluklarını Belirleme
- Üst bölümün uzunluğu = 5h olsun.
- Alt bölüm üst bölümün 2 katı olduğundan alt bölüm uzunluğu = 2 \cdot 5h = 10h olur.
Adım 2 — Şekil 1’deki Toplam Uzunluk
L_1 = 10h + 5h = 15h
Adım 3 — Şekil 2’deki Toplam Uzunluk
Üst bölümün \frac{3}{5}'i içeri itilmektedir:
\text{İçeri Giren Kısım} = 5h \cdot \frac{3}{5} = 3h
\text{Dışarıda Kalan Üst Kısım} = 5h - 3h = 2h
Alt bölüm sabit kaldığı için Şekil 2 toplam boyu:
L_2 = 10h + 2h = 12h
Adım 4 — Oranı Hesaplama
\frac{L_1}{L_2} = \frac{15h}{12h} = \frac{5}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı \left(\frac{5}{4}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15. Soru Çözümü
$$\left(1 - \frac{1}{7}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{8}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{9}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{6}$$ olduğuna göre, x kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
Teleskopik çarpım sadeleştirmesi.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parantez İçlerini Düzenleme
\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \dots \frac{x-1}{x} = \frac{1}{6}
Adım 2 — Sadeleştirmeleri Yapma
Her terimin paydası bir sonraki terimin payını sadeleştirir:
\frac{6}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{9}} \dots \frac{\cancel{x-1}}{x} = \frac{6}{x}
Adım 3 — Eşitliği Çözme
\frac{6}{x} = \frac{1}{6} \implies x = 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (36)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
16. Soru Çözümü
$$A = \frac{15}{13} + \frac{8}{3} + \frac{17}{8}$$ olduğuna göre, $$B = \frac{2}{13} + \frac{2}{3} + \frac{1}{8}$$ ifadesinin A türünden değeri nedir?
KULLANILAN KURAL:
Taraf tarafa çıkarma yöntemiyle paydaları aynı olan kesirlerin tam sayı üretmesi sağlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A ile B İfadelerini Taraf Tarafa Çıkarma
A - B = \left(\frac{15}{13} - \frac{2}{13}\right) + \left(\frac{8}{3} - \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{17}{8} - \frac{1}{8}\right)
Adım 2 — İşlemleri Yapma
A - B = \frac{13}{13} + \frac{6}{3} + \frac{16}{8}
A - B = 1 + 2 + 2 = 5
Adım 3 — B’yi Yalnız Bırakma
B = A - 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (A - 5)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
17. Soru Çözümü
a = 0,32\overline{1}, b = 0,3\overline{21}, c = 0,\overline{321} olduğuna göre, doğru sıralama hangisidir?
KULLANILAN KURAL:
Devirli ondalık sayıları sıralamak için sayıların basamakları açık şekilde alt alta yazılır ve basamak değeri karşılaştırması yapılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Devirli Sayıların Açılımlarını Yazma
- a = 0{,}321111\dots
- b = 0{,}321212\dots
- c = 0{,}321321\dots
Adım 2 — Basamakları Karşılaştırma
İlk üç basamak (0{,}321) hepsinde aynıdır. Virgülden sonraki 4. basamaklara bakılır:
- a’nın 4. basamağı: 1
- b’nin 4. basamağı: 2
- c’nin 4. basamağı: 3
1 < 2 < 3 \implies a < b < c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (a < b < c)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan bir adım veya takıldığın başka bir soru olursa ayrıntılı şekilde inceleyebiliriz. Benzer tipte pekiştirme soruları çözmek ister misin?
