4 harfli kelime sayısı, 5 harfli kelime sayısından 112 fazladır. Çünkü bu kelimelerin toplam harf sayısı 700 ve verilen oranla x+y = %24·700 = 168 olur; denklem sistemini çözünce y = 28, x = 140 ve fark 140 − 28 = 112 bulunur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Tanımlar: let x = 4 harfli kelime sayısı, y = 5 harfli kelime sayısı.
- Verilenler: toplam harf sayısı 4x + 5y = 700 ve x + y = %24 · (4x + 5y).
- İlk olarak oranı uygula: x + y = 0.24 · 700 = 168.
- Sistemi kur:
- (1) x + y = 168
- (2) 4x + 5y = 700
Çözüm: (1) den x = 168 − y; bunu (2)’ye koy: 4(168 − y) + 5y = 700 → 672 − 4y + 5y = 700 → y = 28. O halde x = 168 − 28 = 140. Fark: 140 − 28 = 112.
Pro Tip: Birden fazla bilinmeyenli ve oranlı sorularda önce orana bağlı basit bir toplam/değer çıkararak bilinmeyenleri azaltmak işi hızlandırır.
Denklemler ve Hesaplama
-
Başlangıç denklemleri:
- x + y = 0.24(4x + 5y)
- 4x + 5y = 700
-
Sayısal dönüşüm:
- x + y = 168
- Çözüm sonucu: y = 28, x = 140
Uyarı: Oran yüzde ile verildiğinde önce toplam değer (burada 700) üzerinden yüzde uygulayıp tam sayı elde ettiğinizden emin olun; kesirli sonuç çıkarsa problemi yeniden kontrol edin.
Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Toplam harf sayısı (4x+5y) | 700 |
| x + y = %24 · toplam harf | 168 |
| 4 harfli (x) | 140 |
| 5 harfli (y) | 28 |
| Fark (x − y) | 112 |
| Doğru seçenek | E) 112 |
Sık Sorulan Sorular
-
Bu tür sorularda ilk adım ne olmalı?
İlk olarak verilen oranı ve toplamı kullanarak basit bir toplam veya bölüm denklemine ulaşmaya çalışın; bu genellikle bilinmeyenleri hızlıca azaltır. -
Yüzdeyle verilen ifadeyi nasıl doğrularım?
Önce yüzdeyi ondalık biçime çevirin (ör. %24 = 0.24), sonra ilgili toplamla çarpın; sonuç tam sayı olmalı (problemin mantığı gerektiriyorsa). -
Denklemlerden birini yanlış kurarsam ne olur?
Yanlış denklem hatalı sonuca götürür; her adımda birimlerin (burada ‘kelime sayısı’ ve ‘harf sayısı’) tutarlı olduğundan emin olun.
Sonraki adım olarak, benzer sorular için adım adım çözüm şablonu hazırlamamı ister misin? @zeynep212
4 Harfli ve 5 Harfli Kelimelerin Toplam Harf Sayısı 700 Olduğunda 4 Harfli Kelime Sayısı İçin Kaç Farklı Tam Sayı Mümkündür?
Önemli Noktalar
- 4n₄ + 5n₅ = 700 denkleminin tam sayı çözümleri için n₄ ≡ 0 (mod 5) olmalıdır.
- Mümkün n₄ değerleri: 0, 5, 10, …, 175 (36 farklı değer).
- n₄ = 2 n₅ koşulu tam sayı çözüm vermez (13n₅ = 700 tam bölünmez), bu nedenle 0 çözüm.
4 harfli (n₄) ve 5 harfli (n₅) kelimelerin oluşturduğu toplam harf sayısı 700 ise, n₄ için mümkün tam sayı sayısı 36’dır (n₅ ≥ 0 tam sayı). Ancak verilen n₄ = 2 n₅ koşuluyla uyumlu tam sayı çözüm yoktur (700/13 ≈ 53,846 tam değil). Bu nedenle farklı tam sayı sayısı 0’dır. Seçenekler arasında yok, muhtemelen oran koşulu sadece örnek veya test için.
İçindekiler
- Problem Analizi
- Denklemin Çözümü
- Oran Koşulu Etkisi
- Karşılaştırma Tablosu: Mümkün Değerler
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problem Analizi
TYT seviyesinde tipik bir lineer Diophant denklemi sorusu. Metinde sadece 4 harfli ve 5 harfli kelimeler dikkate alınıyor (diğer uzunluklar yok veya ihmal ediliyor).
Koşullar:
- n₄: 4 harfli kelime sayısı
- n₅: 5 harfli kelime sayısı
- 4 n₄ + 5 n₅ = 700
- n₄ = 2 n₅ (2. koşul)
Klinik pratikte (sınavda), oran koşulu tam çözüm vermezse 0 cevaplanır. Gerçek hayatta metin analizi için Python veya Excel ile sayım yapılır, ama burada matematik.
Denklemin Çözümü
4 n₄ + 5 n₅ = 700 (n₄, n₅ ≥ 0 tam sayı).
Adım adım çözüm:
-
Modüler aritmetik: 4 n₄ ≡ 700 mod 5
700 ≡ 0 mod 5
4 n₄ ≡ 0 mod 5
n₄ ≡ 0 mod 5 (çünkü 4⁻¹ mod 5 = 4, 0·4 = 0) -
n₄ = 5 m (m ≥ 0 tam sayı) koyun:
4(5 m) + 5 n₅ = 700
20 m + 5 n₅ = 700
4 m + n₅ = 140
n₅ = 140 - 4 m -
Sınırlar:
n₅ ≥ 0 ⇒ m ≤ 140/4 = 35
n₄ = 5 m ≥ 0 ⇒ m ≥ 0
m = 0,1,2,…,35 (36 değer)
Mümkün n₄: 0, 5, 10, …, 175
Formül: Genel olarak 4x + 5y = n için çözüm sayısı ⌊n/20⌋ + 1 (burada ⌊700/20⌋ + 1 = 35 + 1 = 36).
Örnekler:
- m=0: n₄=0, n₅=140 (sadece 5 harfli)
- m=35: n₄=175, n₅=0 (sadece 4 harfli)
- m=1: n₄=5, n₅=136
Oran Koşulu Etkisi (n₄ = 2 n₅)
n₄ = 2 n₅ koyun:
4(2 n₅) + 5 n₅ = 700
8 n₅ + 5 n₅ = 700
13 n₅ = 700
n₅ = 700/13 ≈ 53,846 (tam sayı değil)
Hiçbir tam sayı çözüm yok!
En yakınlar:
- n₅=53, n₄=106 → toplam harf 689
- n₅=54, n₄=108 → toplam harf 702
Sonuç: Koşulla uyumlu 0 farklı tam sayı.
Anahtar Nokta: TYT’de böyle çelişkili koşul varsa cevap 0 veya en yakın değer istenir (burada seçenek yok).
Karşılaştırma Tablosu: Oran Koşulsuz vs Koşullu
| Durum | Çözüm Sayısı (n₄ için) | Örnek n₄ | Toplam Harf |
|---|---|---|---|
| Koşulsuz (≥0) | 36 | 0,5,…,175 | 700 |
| Pozitif (≥1) | 34 | 5,…,170 | 700 |
| n₄ = 2 n₅ | 0 | Yok | - |
| n₄ ≥ 2 n₅ | 14 (m=0-13) | 110 (max) | 700 |
Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Denklem | 4n_4 + 5n_5 = 700 |
| Çözüm koşulu | n₄ ≡ 0 mod 5 |
| Parametre m aralığı | 0 ≤ m ≤ 35 |
| n₄ aralığı | 0, 5, …, 175 |
| Toplam çözüm | 36 |
| Oranla çözüm | 0 |
| Genel formül | \lfloor 700/20 \rfloor + 1 = 36 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden 36 çözüm var?
4 ve 5’in tersi modülleriyle n₄’ün 5’in katı olması gerekir. m=0’dan 35’e 36 adım. Araştırma gösteriyor ki bu tip denklemde çözüm sayısı ≈ n/20 +1 (Kaynak: Number Theory standart).
2. Oran koşulu neden çözüm yok?
13 n₅ =700, 13 700’ü tam bölmez (700 ÷13=53 tam kalan 11). En yakın 689 veya 702 harf.
3. Pozitif çözüm sayısı kaç?
Her ikisi ≥1 için m=1-34, 34 farklı n₄ (5 ila 170, 5’er artar).
4. Sınavda ne cevap verilir?
Koşullar çelişkiliyse 0. Seçenek yoksa oran koşulunu ihmal edip 36 (ancak seçenekte yok). Resim netse oran “≥2 katı” olabilir.
5. Benzer denklem nasıl çözülür?
- gcd kontrol. 2. Mod al. 3. Parametre yaz. 4. Aralık bul.
6. Gerçek metinde nasıl sayılır?
Python kodu:
count = 0
for n4 in range(0, 176, 5):
n5 = (700 - 4*n4) / 5
if n5 == int(n5) and n5 >= 0:
count += 1
print(count) # 36
7. Seçenekler neden 100+?
Muhtemelen resimde harf sayısı 21xx (örn. 2180 için 110 çözüm). OCR hatası olabilir (700 yerine 2180).
Sonraki Adımlar
Resmin net halini veya tam metni paylaşır mısınız? Ya da n=2180 için çözüm mü istersiniz (110 çözüm)?