- Üç basamaklı A pozitif tam sayıIsinin
• 4 fazlası 6 ile tam bölünüyor.
• 6 eksiği 8 ile tam bölünüyor.
Buna göre, en küçük A sayısinın rakamları toplamı
kaçtır?
A) 5
B) 11
C) 14
D) 16
E) 18
Üç Basamaklı En Küçük A Sayısının Rakamları Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bölünebilme ve Kalan Bağıntısı: Bir A sayısının m ile bölümünden kalan r ise A \equiv r \pmod m veya A = m \cdot k + r şeklinde ifade edilir.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat) Kuralı: Ortak katlara ulaşılarak genel terim A = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot k + n biçiminde düzenlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Koşulları Matematiksel Olarak İfade Etme
Soruda verilen bölünebilme kurallarını A pozitif tam sayısı için yazalım:
- A + 4 = 6x \implies A = 6x - 4 = 6(x-1) + 2 \implies A \equiv 2 \pmod 6
- A - 6 = 8y \implies A = 8y + 6 \implies A \equiv 6 \pmod 8
- A + 3 = 5z \implies A = 5z - 3 = 5(z-1) + 2 \implies A \equiv 2 \pmod 5
Adım 2 — Ortak Kalanları Birleştirme
A sayısının hem 6 hem de 5 ile bölümünden kalan 2’dir:
A \equiv 2 \pmod 6
A \equiv 2 \pmod 5
Bu durumda A - 2 sayısı hem 6’nın hem de 5’in tam katıdır:
A - 2 = \text{EKOK}(6, 5) \cdot m = 30m
A = 30m + 2
Adım 3 — 8 ile Bölünebilme Koşulunu Sağlama
A sayısının 8 ile bölümünden kalanın 6 olması gerekiyordu (A \equiv 6 \pmod 8):
30m + 2 \equiv 6 \pmod 8
6m + 2 \equiv 6 \pmod 8
6m \equiv 4 \pmod 8
Bu denklikte m değerlerini denersek:
- m = 0 \implies 6(0) = 0 \not\equiv 4
- m = 1 \implies 6(1) = 6 \not\equiv 4
- m = 2 \implies 6(2) = 12 \equiv 4 \pmod 8 (Sağlar)
Demek ki m sayısı 4k + 2 biçiminde olmalıdır.
Adım 4 — Genel Terimi Bulma ve En Küçük Üç Basamaklı Değeri Hesaplama
m = 4k + 2 ifadesini A = 30m + 2 denkleminde yerine yazalım:
A = 30(4k + 2) + 2
A = 120k + 60 + 2
A = 120k + 62
A sayısının üç basamaklı en küçük pozitif tam sayı olması istendiğinden:
- k = 0 için: A = 62 (İki basamaklı)
- k = 1 için: A = 120(1) + 62 = 182 (Üç basamaklı en küçük değer)
Adım 5 — Rakamları Toplamını Hesaplama
A = 182 sayısının rakamları toplamı:
1 + 8 + 2 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EKOK Yardımıyla Sayı Oluşturma
- Tanım: Farklı bölenlere sahip doğrusal denklik sistemlerinde ortak katlar alınarak tek bir genel formüle ulaşılması yöntemidir.
- Bu problemde: 5 ve 6 ile bölündüğünde aynı kalanı veren ifadeler birleştirilip \text{EKOK}(5, 6) = 30 tabanına indirgenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şartları Yanlış Sayıya Eşitlemek
- Yanlış: A + 4, A - 6 ve A + 3 ifadelerine doğrudan aynı sabit sayıyı eklemeye çalışıp sonuca ulaşamamak.
- Doğru: Her bir ifadeyi kalana çevirip (A \equiv 2 \pmod 6, A \equiv 6 \pmod 8, A \equiv 2 \pmod 5) ortak kalan verenleri önce eşleştirmek.
- Neden yanlış: Her zaman tüm bölenlere aynı ekleme yapılamayabilir; modüler aritmetik veya adım adım EKOK alma yöntemi genel çözümü verir.
Benzer EKOK ve bölünebilme problemleriyle pratik yapmaya devam etmek ister misin?