4. \displaystyle \frac{\log_{\sqrt{6}}\sqrt{2}}{\log_{3}\sqrt{2}} \;+\;\frac{\log_{36}\sqrt{5}}{\log_{16}\sqrt{5}} ifadesi kaçtır?
Önemli Noktalar
- Değişme tabanı formülü: \log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}
- Logaritmanın üs kuralları: \log(a^c)=c\,\log a ve \log\frac{a}{b}=\log a-\log b
- Sonuç 2’dir
İfade 2’ye eşittir.
İçindekiler
Hesaplamanın Adımları
- Birinci terim:\frac{\log_{\sqrt{6}}\sqrt{2}}{\log_{3}\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{\ln\sqrt{2}}{\ln\sqrt{6}}}{\dfrac{\ln\sqrt{2}}{\ln 3}} = \frac{\ln 3}{\ln\sqrt{6}} = \frac{\ln 3}{\tfrac12(\ln2+\ln3)} = \frac{2\,\ln3}{\ln2+\ln3}.
- İkinci terim:\frac{\log_{36}\sqrt{5}}{\log_{16}\sqrt{5}} = \frac{\dfrac{\ln\sqrt{5}}{\ln36}}{\dfrac{\ln\sqrt{5}}{\ln16}} = \frac{\ln16}{\ln36} = \frac{4\ln2}{2(\ln2+\ln3)} = \frac{2\,\ln2}{\ln2+\ln3}.
- Toplam:\frac{2\ln3}{\ln2+\ln3} \;+\;\frac{2\ln2}{\ln2+\ln3} = \frac{2(\ln3+\ln2)}{\ln2+\ln3} = 2.
Karşılaştırmalı Tablo
| Özellik | Değişme Tabanı Formülü | Üs ve Bölme Kuralları |
|---|---|---|
| Tanım | \log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a} | \log(a^c)=c\,\log a, \log\frac{a}{b}=\log a-\log b |
| Kullanım | Farklı tabanlı logaritmaları sadeleştirir | Üsleri ve bölmeleri logaritma dışına çıkarır veya ayırır |
Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Birinci Terim | \dfrac{\log_{\sqrt{6}}\sqrt{2}}{\log_{3}\sqrt{2}} | \dfrac{2\ln3}{\ln2+\ln3} |
| İkinci Terim | \dfrac{\log_{36}\sqrt{5}}{\log_{16}\sqrt{5}} | \dfrac{2\ln2}{\ln2+\ln3} |
| Toplam | – | 2 |
SSS
Q1: Değişme tabanı formülünü nasıl hatırlarım?
A1: \log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}, çünkü doğal logaritmaya (ln) geçmek taban farkını ortadan kaldırır.
Q2: \log(a^c) neden c\,\log a olur?
A2: \ln(a^c)=c\,\ln a olduğundan, \log(a^c)=\dfrac{\ln(a^c)}{\ln(\text{yeni taban})}=c\,\dfrac{\ln a}{\ln(\text{yeni taban})}.
Q3: \log_a a kaçtır?
A3: \log_a a=1 çünkü taban ve argüman aynı olduğunda logaritma değeri 1’dir.
Q4: Bir logaritma bölme işlemi nasıl sadeleşir?
A4: \log\frac{a}{b}=\log a-\log b özelliği kullanılır.
Bu konuya yönelik 3 adet pratik soru ister misiniz? @Abdurrahman2134
Logaritma İfadesinin Değeri Nedir?
Önemli Noktalar
- Logaritma ifadelerinde taban değişimi ve üslerin açılımı çözüme yardımcı olur.
- Kare kök ve diğer kökler üs olarak kesir biçiminde yazılır.
- Logaritma bölümlerini ortak tabana çevirmek sadeleştirmeyi sağlar.
Verilen ifade şu şekildedir:
[
\frac{\log_{\sqrt[6]{6}} \sqrt{2}}{\log_3 \sqrt{2}} + \frac{\log_{36} \sqrt{5}}{\log_{16} \sqrt{5}}
]
İçindekiler
- Adım Adım Çözüm
- Taban Değişimi ve Üslerin Açılımı
- Karşılaştırma Tablosu: Logaritma Taban Değişimi vs Doğrudan Hesaplama
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Adım Adım Çözüm
- Üstte ve altta bulunan logaritmaları, logaritma değişim formülüne göre doğal logaritmaya veya ortak bir tabana çevirebiliriz:
[
\log_a b = \frac{\log b}{\log a}
]
- İfade basitçe şu hale gelir:
[
\frac{\frac{\log \sqrt{2}}{\log \sqrt[6]{6}}}{\frac{\log \sqrt{2}}{\log 3}} + \frac{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 36}}{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 16}}
]
- Paydalar ve paylar içinde sadeleştirmeler yapalım:
İlk kesir:
[
\frac{\frac{\log \sqrt{2}}{\log 6^{1/6}}}{\frac{\log \sqrt{2}}{\log 3}} = \frac{\log \sqrt{2}}{\frac{1}{6} \log 6} \times \frac{\log 3}{\log \sqrt{2}} = \frac{\log 3}{\frac{1}{6} \log 6} = \frac{\log 3}{\frac{1}{6}\log 6} = 6 \times \frac{\log 3}{\log 6}
]
İkinci kesir:
[
\frac{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 36}}{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 16}} = \frac{\log \sqrt{5}}{\log 36} \times \frac{\log 16}{\log \sqrt{5}} = \frac{\log 16}{\log 36}
]
- Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
[
6 \times \frac{\log 3}{\log 6} + \frac{\log 16}{\log 36}
]
- Logaritma tabanlarını bir tabana (örneğin 10) çevirebiliriz, burada isimlendirme önemli değil, taban aynı olsun.
Şimdi logaritma değerlerini mümkün olduğunca sayısal tabanlara açalım:
- (\log 6 = \log (2 \times 3) = \log 2 + \log 3)
- (\log 16 = \log 2^4 = 4 \log 2)
- (\log 36 = \log (6^2) = 2 \log 6 = 2 (\log 2 + \log 3))
- İfadeyi şu şekilde yazalım:
[
6 \times \frac{\log 3}{\log 2 + \log 3} + \frac{4 \log 2}{2 (\log 2 + \log 3)} = 6 \times \frac{\log 3}{\log 2 + \log 3} + \frac{2 \log 2}{\log 2 + \log 3}
]
- Payda ortak olduğundan toplama yapılabilir:
[
\frac{6 \log 3 + 2 \log 2}{\log 2 + \log 3}
]
- Pay ve paydayı ayırıp yazarsak:
[
\frac{6 \log 3 + 2 \log 2}{\log 2 + \log 3}
]
- Şimdi (x = \log 2) ve (y = \log 3) diyelim:
[
\frac{6y + 2x}{x + y} = \frac{2(3y + x)}{x + y}
]
- Üst ve alttaki ifadeye dikkat edersek, direkt sadeleştirme mümkün değil, ama yaklaşık değerlendirme yapabiliriz.
Yaklaşık hesaplamayla:
- (\log 2 \approx 0.3010)
- (\log 3 \approx 0.4771)
O halde,
[
\frac{6 \times 0.4771 + 2 \times 0.3010}{0.3010 + 0.4771} = \frac{2.8626 + 0.6020}{0.7781} = \frac{3.4646}{0.7781} \approx 4.45
]
Ancak sınav matematiğinde kesirli değerler yerine sade sonuç beklenir.
- Alternatif olarak, ifadeleri taban değişimini hatırlayarak çözümleyelim:
İfade,
[
\frac{\log_{\sqrt[6]{6}} \sqrt{2}}{\log_3 \sqrt{2}} + \frac{\log_{36} \sqrt{5}}{\log_{16} \sqrt{5}}
]
olarak verilmişti.
Bunu logaritmaların taban değiştirmesiyle:
[
\frac{\frac{\log \sqrt{2}}{\log 6^{1/6}}}{\frac{\log \sqrt{2}}{\log 3}} + \frac{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 36}}{\frac{\log \sqrt{5}}{\log 16}}
= \frac{\log 3}{\log 6^{1/6}} + \frac{\log 16}{\log 36}
]
Yukarıdaki adımları tekrar ve özetleyerek şunu kabul edelim:
[
\frac{\log 3}{\frac{1}{6} \log 6} + \frac{\log 16}{\log 36} = 6 \frac{\log 3}{\log 6} + \frac{\log 16}{\log 36}
]
Şimdi (\frac{\log 3}{\log 6}) ifadesini (\log_6 3) olarak düşünebiliriz.
Aynı şekilde (\frac{\log 16}{\log 36} = \log_{36} 16).
Bunlar logaritma dönüşümü kurallarına göre:
- (\log_6 3) : 6 tabanında 3’ün logaritması,
- (\log_{36} 16).
Bu sayılar:
- (6^{x} = 3 \Rightarrow x = \log_6 3),
- (36^{y} = 16 \Rightarrow y = \log_{36} 16).
Bir hesap makinesi veya dönüşüm ile bu sayıları hesaplayalım:
[
6^{x} = 3 \implies 3 = 6^{x}
]
6 = 2 × 3
Şöyle yazabiliriz:
[
6^x = 3 \Rightarrow (2 \cdot 3)^x = 3 \Rightarrow 2^x \cdot 3^x = 3 \Rightarrow 2^x \cdot 3^x = 3^1
]
Bundan:
[
2^x \cdot 3^x = 3^1 \Rightarrow 3^x = \frac{3}{2^x}
]
Ama bu çevrim çok karışık olur.
Daha kolay yol:
[
\log_6 3 = \frac{\log 3}{\log 6} = \text{daha önce bulundu} \approx \frac{0.4771}{0.7781} \approx 0.613
]
Benzer şekilde:
[
\log_{36} 16 = \frac{\log 16}{\log 36} = \frac{1.204}{1.556} \approx 0.774
]
Toplam:
[
6 \times 0.613 + 0.774 = 3.678 + 0.774 = 4.452
]
Yaklaşık olarak 4.45 sonucundan çok büyük fark yok.
Sonuç:
İfade yaklaşık 4.45 değerine karşılık gelir.
Eğer bu ifade soruda tam sayı olarak isteniyorsa ve seçeneklere bakılırsa muhtemelen doğru sonuç 4.5 veya 4 olabilir.
Taban Değişimi ve Üslerin Açılımı
- Karekök ifadesi logaritmada üs yoluyla yazılır: (\sqrt{a} = a^{1/2})
- Köklü tabanın ve argümanın logaritması, tabanın veya argümanın üssüyle ifade edilir: (\log_{a^{p}} b^{q} = \frac{q}{p} \log_a b)
- Logaritma bölme ve çarpma kuralları: (\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x)
Karşılaştırma Tablosu: Logaritma Taban Değişimi vs Doğrudan Hesaplama
| Kriter | Taban Değişimi Yöntemi | Doğrudan Hesaplama |
|---|---|---|
| Hesaplama Kolaylığı | Mantıksal adımlar gerektirir | Sayısal hesap makineleriyle hızlı |
| Üs İfadelerini Açma | Üslerin kesir olarak yazılması gerekir | Genellikle otomatik tarafından yapılır |
| Hassasiyet | İyi sonuç verir, daha kesin sonuç için dikkat | Yaklaşık sonuç alınabilir |
| Eğitim Seviyesi Uyumu | Matematiksel kavrama dayalı | Pratik, uygulamalı |
Özet Tablo
| Adım/Eleman | Açıklama |
|---|---|
| İfade | (\frac{\log_{\sqrt[6]{6}} \sqrt{2}}{\log_3 \sqrt{2}} + \frac{\log_{36} \sqrt{5}}{\log_{16} \sqrt{5}}) |
| Taban değiştirme | (\Rightarrow 6 \times \frac{\log 3}{\log 6} + \frac{\log 16}{\log 36}) |
| Logaritma açılımı | (\log 6 = \log 2 + \log 3), (\log 16 = 4\log 2), (\log 36= 2\log 6) |
| Sonuç (yaklaşık) | 4.45 (kesirli hali ile) |
Sık Sorulan Sorular
1. Logaritma taban değişimi nasıl yapılır?
Logaritma taban değişimi formülü: (\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}), burada (c) herhangi bir pozitif tabandır.
2. Karekök logaritmada nasıl ifade edilir?
(\sqrt{a} = a^{1/2}) olduğundan, (\log_a \sqrt{b} = \log_a b^{1/2} = \frac{1}{2} \log_a b) şeklinde yazılır.
3. İfadeyi sadeleştirmek için hangi yöntemler kullanılır?
Taban değiştirme, logaritma kuralları ve üslerin açılımı sadeleştirme için temel yöntemlerdir.
Sonraki Adımlar
Bu tür ifadelerde taban ve üslerin etkisini daha iyi anlayabilmeniz için isterseniz “Logaritma Taban Değiştirme Problemleri” üzerinde örnekler hazırlayabilirim. Ayrıca, hesaplamalarda mantıksal kestirim teknikleriyle pratik yapmaya ne dersiniz?