4, Asağidakí şekilde bir havaalanında bulunan yarım silindir biçirnindeki iki farklı konveyõrün (bagaj kontrol tüneli) giris
kisımlarınin görünüşleri verilmiştir.1 /65
Tünel
değerierinden hangllerine eşit olabllir?
A) Yalnz1
B) Yalniz l
2: Tünel
Küp biçimindeki bir bagaj, bu konveyörlerden geçirilmeye
çalışıldığında bu bagajın 1. tünelden geçebildiği fakat 2
tünelden geçemediği görülmüştür.
Küp biçimindeki bagajın bir kenar uzunluğu x birim
olmak üzere;
tünelin yarıçap 10 birin,
C) Yalnız ll
tünelin yarıçapı 75 birim,
olduğuna göre x sayısı
D)I ve If
E) If ve
I. x = \sqrt{55} için:x^2 = 55 55 < 60 olduğundan bu bagaj 2. tünelden de geçer. Koşulu sağlamaz.
II. x = \sqrt{65} için:x^2 = 65 60 < 65 \le 80 aralığında yer aldığından 1. tünelden geçer, 2. tünelden geçemez. Koşulu sağlar.
III. x = \sqrt{85} için:x^2 = 85 85 > 80 olduğundan 1. tünelden de geçemez. Koşulu sağlamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ CEVAP:B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çemberde Kiriş ve Uzaklık Bağıntısı
Tanım: Bir çemberin merkezine olan uzaklığı yarıçaptan büyük olan noktalar çemberin dış bölgesinde kalır.
Bu problemde: Küpün üst iki köşesinin merkezden uzaklığı \sqrt{(x/2)^2 + x^2} = \frac{\sqrt{5}x}{2} formülü ile modellenmiş ve yarıçap sınırları ile karşılaştırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Küpün yüksekliğini doğrudan yarıçap ile karşılaştırmak
Yanlış:x \le R veya x > R bağıntısını doğrudan kullanmak.
Doğru: Küpün genişliği tabana yayıldığı için en kritik nokta tepe köşeleridir; Pisagor bağıntısı kurularak \frac{5x^2}{4} \le R^2 eşitsizliği uygulanmalıdır.
Neden yanlış: Küp bir çizgi değil, taban genişliğine sahip iki boyutlu bir kesit oluşturur. Kenarlar tünel duvarına yaklaştıkça tünelin yüksekliği azalır.
Benzer tipteki katı cisim ve çember geometri sorularını daha hızlı çözmek için pratik bir yöntem incelememizi ister misin?
Yarım Silindir Tünelden Küp Geçişi Probleminin Detaylı ve Görsel Açıklaması
KULLANILAN FORMÜL VE GEOMETRİK MANTIK:
Yarım silindirin önden görünüşü, tabanı düz olan bir yarım çemberdir. Bir kenarı x olan küpün tünelden geçebilmesi için önden görünüşü olan x \times x boyutundaki karenin tünelin içine sığması gerekir.
Küpü tünelin tabanına tam ortalayarak yerleştirdiğimizde:
Merkezin sağına doğru taban mesafesi: \frac{x}{2}
Küpün yüksekliği (yukarı doğru mesafe): x
Merkeze en uzak nokta küpün üst köşesidir. Pisagor bağıntısına göre köşenin merkeze uzaklığı:
Adım 2 — 2. Tünelden Geçememe Şartını Hesaplayalım
tünelin yarıçapı: R_2 = \sqrt{75}\text{ birim}
Yarıçapın karesi: R_2^2 = 75
Küp bu tünelden geçemediğine göre:
x^2 > \frac{4 \cdot 75}{5}
x^2 > 4 \cdot 15
x^2 > 60
Adım 3 — x^2 İçin Ortak Aralığı Bulalım
tünelden geçip 2. tünelden geçemeyen bir küpün kenar karesi (x^2):
60 < x^2 \le 80
aralığında olmalıdır.
Adım 4 — Öncülleri Teker Teker İnceleyelim
I. x = \sqrt{55} için: x^2 = 55 olur. 55 < 60 olduğu için bu küp 2. tünelden de rahatça geçer. (Soruda 2. tünelden geçemediği söylenmişti, bu yüzden sağlamaz.)
II. x = \sqrt{65} için: x^2 = 65 olur. 65 sayısı 60 < x^2 \le 80 aralığında yer alır. Yani 1. tünelden geçer ama 2. tünelden geçemez. (Sağlar.)
III. x = \sqrt{85} için: x^2 = 85 olur. 85 > 80 olduğu için bu küp 1. tünelden bile geçemez. (Soruda 1. tünelden geçtiği söylenmişti, bu yüzden sağlamaz.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ CEVAP:B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çembere Sığma ve En Uzak Nokta Kriteri
Tanım: Bir cismin çembersel bir kesite sığıp sığmadığını anlamak için merkezden cismin en uç (en kritik) köşesine olan uzaklık kontrol edilir.
Bu problemde: Küpün en dış noktası üst sağ ve sol köşeleridir. Bu köşeler tünelin tavanına değerse cisim sıkışır; bu nedenle Pisagor teoremi ile d^2 = \frac{5x^2}{4} bağıntısı kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece küpün boyunu yarıçapla kıyaslamak
Yanlış: “Yarıçap 10 ise küpün bir kenarı da 10 olabilir” demek.
Doğru: Küpün genişliği tabana yayıldığı için köşeleri tünelin eğimli tavanına çarpar; bu yüzden küpün kenarı x, yarıçap R’den mutlaka daha küçük olmalıdır.
Neden yanlış: Tünel düz bir kutu değil, kubbe (yarım daire) şeklinde olduğu için kenarlara doğru tavan yüksekliği hızla alçalır.
Pisagor bağıntısını kurduğumuz yer veya adımlardaki herhangi bir işlem kafana takıldıysa, o kısmı daha ayrıntılı çizimle açmamı ister misin?
Bagaj bu tünelden geçebildiği için köşesi tavanı aşamaz:
x^2 \le \frac{4 \cdot 100}{5}
x^2 \le 4 \cdot 20
x^2 \le 80
Adım 3 — 2. Tünelden Geçememe Durumunu İnceleyelim
tünelin yarıçapı: R_2 = \sqrt{75}\text{ birim}
Yarıçapın karesi: R_2^2 = (\sqrt{75})^2 = 75
Bagaj bu tünelden geçemediği (sıkıştığı) için köşesi tünel yarıçapından büyüktür:
x^2 > \frac{4 \cdot 75}{5}
x^2 > 4 \cdot 15
x^2 > 60
Adım 4 — İki Şartı Bir Araya Getirelim
Bagaj 1. tünelden geçerken 2. tünelden geçemiyorsa, x^2 değeri şu aralıkta olmak zorundadır:
60 < x^2 \le 80
Adım 5 — Verilen Öncülleri Test Edelim
I. x = \sqrt{55} olursa: x^2 = 55 olur. 55 < 60 olduğu için bagaj her iki tünelden de rahatça geçerdi. (Sorudaki “2. tünelden geçemedi” şartına uymaz, yanlış).
II. x = \sqrt{65} olursa: x^2 = 65 olur. 65 sayısı 60 < 65 \le 80 aralığına tam uyar. 1. tünelden geçer, 2. tünele sığmaz. (Sorudaki tüm şartları sağlar, doğru).
III. x = \sqrt{85} olursa: x^2 = 85 olur. 85 > 80 olduğu için 1. tünele dahi sığmaz. (Sorudaki “1. tünelden geçti” şartına uymaz, yanlış).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ CEVAP:B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çember Denklemi ve Geometrik Sınır
Tanım: Yarıçapı R olan bir çemberin içine yerleştirilen herhangi bir noktanın (a, b) merkeze uzaklığı a^2 + b^2 \le R^2 kuralını sağlamalıdır.
Bu problemde: Küpün üst köşe noktası \left(\frac{x}{2}, x\right) olduğu için \left(\frac{x}{2}\right)^2 + x^2 \le R^2 eşitsizliği kurularak tünelden geçiş sınırı belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tüneli dikdörtgen gibi düşünüp sadece yüksekliğe bakmak
Yanlış: “Tünelin yarıçapı 10 ise küpün kenarı x = 10 olabilir” demek.
Doğru: Küp tabana oturduğunda kenarları tünelin kavisli duvarlarına yaklaşır. Bu yüzden x kenarı, yarıçap R’den daima daha küçük olmak zorundadır (x \le \sqrt{80} \approx 8{,}94).
Neden yanlış: Çemberin tepe noktası yüksek olsa bile sağa ve sola gidildikçe tavan yüksekliği hızla azalır.
Pisagor bağıntısını kurduğumuz \frac{x}{2} ve x uzunluklarının nereden geldiğini bir koordinat düzlemi üzerinde adım adım göstermemi ister misin?
Yarım Silindir Tünelden Küpün Geçiş Probleminin Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN FORMÜL VE GEOMETRİK KURAL:
Tünele önden baktığımızda bir yarım çember, küpe önden baktığımızda ise bir kenarı x birim olan bir kare görürüz.
Küpün tünelden geçebilmesi için çemberin merkezine en uzak olan üst köşelerinin tavan sınırını aşmaması gerekir. Pisagor bağıntısı ile köşenin merkeze olan uzaklığı hesaplanır:
Bagaj bu tünelden geçemediğine göre köşe noktası tünelin dışına taşmalıdır:
\frac{5x^2}{4} > 75
5x^2 > 300
x^2 > 60
Adım 4 — Ortak Aralık Değerini Belirleme
Bagajın 1. tünelden geçip 2. tünelden geçememesi için kenar uzunluğunun karesi (x^2) bu iki sınırı aynı anda sağlamalıdır:
60 < x^2 \le 80
Adım 5 — Verilen Öncülleri Test Etme
I. x = \sqrt{55} için: x^2 = 55 olur. 55 < 60 olduğu için bu bagaj 2. tünelden de kolaylıkla geçer. Soru metnindeki “2. tünelden geçemedi” şartına uymaz.
II. x = \sqrt{65} için: x^2 = 65 olur. 60 < 65 \le 80 eşitsizliğini sağlar. Yani 1. tünelden geçer fakat 2. tünelden geçemez. Soru koşullarını tam olarak karşılar.
III. x = \sqrt{85} için: x^2 = 85 olur. 85 > 80 olduğu için bu bagaj daha 1. tünele bile sığmaz. Soru metnindeki “1. tünelden geçebildiği” şartına uymaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ CEVAP:B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çemberde En Dış Nokta Kriteri
Tanım: Bir cismin çembersel bir açıklıktan sığabilmesi için cisme ait tüm noktaların merkeze olan uzaklığı yarıçaptan küçük veya eşit olmalıdır.
Bu problemde: Küpün üst köşesi merkeze en uzak noktadır ve merkeze mesafesi \sqrt{\frac{5x^2}{4}} bağıntısı ile hesaplanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Küpün bir kenarını doğrudan yarıçapla kıyaslamak
Yanlış:x \le R kabul edip x \le 10 diyerek tüm öncülleri doğru saymak.
Doğru: Tünelin tavanı yanlara doğru kavis yaptığı için kenar uzunluğu yarıçaptan çok daha küçük olmak zorundadır (x^2 \le 80 \implies x \le 8{,}94).
Neden yanlış: Tünelin en yüksek yeri merkezdedir; ancak küp tabana oturduğunda köşeleri alçalan tavan kavislerine çarpar.
Bu sorudaki Pisagor üçgenini daha net görebilmek için benzer bir geometri sorusu üzerinden pekiştirme yapmamızı ister misin?
KULLANILAN FORMÜL VE GEOMETRİK KURAL:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
CEVAP: B) Yalnız II
TEMEL KAVRAMLAR:
SIK YAPILAN HATALAR:
Küpün yüksekliğini doğrudan yarıçap ile karşılaştırmak