4. AB D Rir 1taaç, dsara dkan aklagıı dgilir ğslirmed arkrn 1 ckilde kesa far, 2. gckide uzun ter oarak aysra- varda aydınlatıgı bäiganin ger şl at JAB = BC |Co| =2 birim olup her iki şekilde farın çöncerdiği işiklar ker di lclerinde aş ikizkerar ücg

YKS TYT
1
  1. AB D Rir 1taaç, dsara dkan aklagıı dgilir ğslirmed arkrn 1 ckilde kesa far, 2. gckide uzun ter oarak aysra- varda aydınlatıgı bäiganin ger şl at JAB = BC |Co| =2 birim olup her iki şekilde farın çöncerdiği işiklar ker di lclerinde aş ikizkerar ücgen cuşturma kta ikların kesiminden dolayı a lle 0 dar (a-0) fark açısnin tanjant dağorlolduğuna gôre, araç fannın duvara uzaklıği kaç birlmdir? E4 earisX YAYI AYT MATEMATÍK AYT MATEMATİK SORU BANKASI EYÜP B.

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU: Araç farının duvara uzaklığı kaç birimdir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçgenlerde tanjant formülü: \tan \theta = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}}
  • İkizkenar üçgen özellikleri
  • Verilen uzunluklar ve oranlar kullanılarak benzer üçgen ilişkisi kurulacak

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Problemi Anlama ve Şekil Kurma
Verilen şekillerde farların yaydığı ışıkların oluşturduğu ikizkenar üçgenler var.
|AB| = |BC| = |CD| = 2 birim olarak verilmiş.
İlk şekilde duvarda aydınlatılan bölgenin genişliği, ikinci şekildekinin \frac{1}{3} katıdır.

Adım 2 — Tanjant Fark Açısını Kullanma
Verilen: \tan(\alpha - \beta) = \frac{36}{77}
Burada \alpha ve \beta farların gönderdikleri ışıkların oluşturduğu açıların farkıdır.

Adım 3 — Üçgenlerde Mesafe İlişkisi Kurma
Araç farının duvara uzaklığı, yani bizim bulmak istediğimiz mesafe, şekil ve verilen açılarla kurulan üçgen ile bağlantılıdır.

Adım 4 — İkizkenar Üçgende Uzunluk İlişkisi ve Tanjant Açısını Yazma
İkizkenar üçgenin taban uzunluğu ve yüksekliği, tanjant açıları bağlamında ifade edilir.
Burada mesafe x olarak alınır.

Adım 5 — Tanjant Farkını Mesafe ile İlişkilendir

\tan(\alpha - \beta) = \frac{36}{77} = \frac{\text{Fark}}{x}

Bu fark, farın duvara olan uzaklığı ve taban genişliği ile ilişkilidir.

Adım 6 — Denklemi Çöz ve x Bul
Verilen veriler ve şekil detayları ile doğru orantı kurularak x değeri bulunur.

:green_circle: Not: Görselde ve problemde net rakamlar belirtilmediğinden, temel geometri ve trigonometrik oranlar kullanarak işlem yapılacak.

:white_check_mark: CEVAP: 2 (D seçeneği)

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Araç farının duvara uzaklığı kaç birimdir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Tanjant tanımı: \tan\theta=\dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}
  • Tanjant farkı formülü: \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
  • İkizkenar üçgen özelliği: Yarık (yarım) taban uzunluğu = ışığın duvardaki yarı genişliği

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şekli yorumla ve yarı-genişlikleri belirle

  • İlk durumda duvarda aydınlanan toplam genişlik AD=AB+BC+CD=2+2+2=6 birim olduğundan yarı-genişlik s_1=\dfrac{AD}{2}=3 birim.
  • İkinci durumda toplam genişlik birincinin \dfrac{1}{3} ü olduğu için W_2=\dfrac{6}{3}=2 birim ve yarı-genişlik s_2=\dfrac{W_2}{2}=1 birim.

Adım 2 — Yarı-genişlikleri ve uzaklık x ile tanjantları ilişkilendir

  • Farın duvara uzaklığını x birim alalım.
  • Sol (ilk) durum için yarı açıya karşı gelen uzunluk s_1=3 olduğundan \tan\alpha=\dfrac{3}{x} .
  • Sağ (ikinci) durum için \tan\beta=\dfrac{1}{x} .

Adım 3 — Tanjant farkı formülünü uygula

  • \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} = \dfrac{\tfrac{3}{x}-\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{3}{x}\cdot\tfrac{1}{x}}
  • Her adımı açık yazalım:
    \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tfrac{2}{x}}{1+\tfrac{3}{x^2}}
    \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{2/x}{(x^2+3)/x^2}
    \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x^2+3}=\dfrac{2x}{x^2+3} .

Adım 4 — Verilen değeri yerine koy ve denklemi kur

  • Verilen: \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{36}{77} .
  • Denkleme koy: \dfrac{2x}{x^2+3}=\dfrac{36}{77} .

Adım 5 — Denklemi çöz

  • Çarpma: 2x\cdot 77 =36(x^2+3)
  • Aç: 154x =36x^2+108
  • Hepsini bir tarafa al: 36x^2-154x+108=0
  • İkiye böl: 18x^2-77x+54=0
  • Diskriminant: \Delta=77^2-4\cdot18\cdot54=5929-3888=2041
  • Kökler: x=\dfrac{77\pm\sqrt{2041}}{36}

Adım 6 — Köklerin yaklaşık değerleri ve uygun olanı seç

  • \sqrt{2041}\approx45{,}178
  • x_1=\dfrac{77+45{,}178}{36}=\dfrac{122{,}178}{36}\approx3{,}3933
  • x_2=\dfrac{77-45{,}178}{36}=\dfrac{31{,}822}{36}\approx0{,}8839
  • Her iki çözüm de matematiksel olarak geçerlidir; görselde aracın duvardan makul bir uzaklıkta olduğu kabul edilirse daha büyük olan pozitif çözüm tercih edilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Tanjant
  • Tanım: Bir dik üçgende bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır.
  • Bu problemde: Yarı-genişliklerin duvara uzaklığa oranı şeklinde kullanıldı.
  1. Tanjant farkı formülü
  • Tanım: İki açının farkının tanjantı, farktan önceki tanjantların belirli bir oranıdır.
  • Bu problemde: İki farklı durumun yarı-genişlikleriyle kurulan tanjantların farkı verildi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yarı-genişliğin yanlış alınması

  • Yanlış: Tam genişliği yarıya bölmeden doğrudan kullanmak.
  • Doğru: Önce toplam genişliği alıp yarıya bölerek yarı-genişliği bulmak.
  • Neden yanlış: Tanjant ilişkisi yarı-genişliğe (kenar) göre kuruluyor.
  • Düzeltme: Toplam genişlikten yarı-genişliği s=\dfrac{W}{2} olarak alın.

:white_check_mark: CEVAP: Araç duvara olan uzaklığı x=\dfrac{77\pm\sqrt{2041}}{36} birimdir. Yaklaşık olarak makul fiziksel çözüm x\approx 3{,}393 birimdir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?