. 4 6. Bir aritmetik dizide ag -7 ve a -19 olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1) kaçtır? İpucu göster

YKS TYT
1

D. 4 6. Bir aritmetik dizide ag -7 ve a -19 olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1) kaçtır? İpucu göster v 6/10 Geri D+, | %3 X 0 1 Sonraki

2

4 6. Bir aritmetik dizide a₃ = -7 ve a₇ = -19 olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a₁) kaçtır? İpucu göster

Önemli Noktalar

  • Aritmetik dizi, terimleri ardışık olarak sabit bir farkla artan veya azalan sayı dizisidir.
  • Genel terim formülü:
    a_n = a_1 + (n-1)d
    (Burada a₁ ilk terim, d ortak fark, aₙ ise n’inci terimdir.)
  • Verilen:
    a_3 = -7,
    a_7 = -19
  • Amaç: a₁ (ilk terim) ve d (ortak fark) değerlerini bulmak.

Aritmetik dizinin 3. ve 7. terimleri verilmiş, ortak fark ve ilk terim denklem sisteminden çözülür.

İçindekiler

  1. İpucu: Genel Terim Formülü
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi Temel Kavramlar
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. İpucu: Genel Terim Formülü

Bir aritmetik dizinin genel terimi:

a_n = a_1 + (n-1)d

Burada:

  • a_1 : İlk terim
  • d : Ortak fark
  • n : Terim numarası

Bu formülle a_3 ve a_7 için yazalım:

a_3 = a_1 + 2d = -7
a_7 = a_1 + 6d = -19

Bu iki denklemi çözerek a_1 ve d bulunabilir.

:light_bulb: Pro Tip: İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklem çıkarma yöntemini kullanabilirsiniz.

2. Adım Adım Çözüm

Denklemler:

  1. a_1 + 2d = -7
  2. a_1 + 6d = -19

İkinci denklemden birinci çıkarılırsa:

(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = -19 - (-7)
4d = -12 \Rightarrow d = -3

Bulduğumuz d = -3 değerini 1. denklemde yerine koyarsak:

a_1 + 2(-3) = -7 \Rightarrow a_1 - 6 = -7 \Rightarrow a_1 = -1

Sonuç:

  • İlk terim a_1 = -1
  • Ortak fark d = -3

3. Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi Temel Kavramlar

Özellik Açıklama Formül / Değer
İlk Terim a_1 Dizinin ilk elemanı Bulunması gerekiyor
Ortak Fark d İki ardışık terim arasındaki sabit fark d = a_{n+1} - a_n
Genel Terim Formülü n’inci terimi bulma a_n = a_1 + (n-1)d
Verilen Örnek 3. terim ve 7. terim değerleri a_3 = -7, a_7 = -19
Çözüm Yöntemi Denklem sistemi kurup çözme Yukarıdaki adımlar

4. Özet Tablo

Eleman Değer
a_3 -7
a_7 -19
Ortak fark d -3
İlk terim a_1 -1
Kullanılan formül a_n = a_1 + (n-1)d

5. Sık Sorulan Sorular

1. Aritmetik dizinin ortak farkı neden önemlidir?
Ortak fark, dizinin artış veya azalış hızını belirler. Her terim arasında aynı fark varsa dizi aritmetiktir.

2. Ortak fark negatif olabilir mi?
Evet, ortak fark negatif ise dizi her terimde sabit olarak azalır.

3. Genel terimi nasıl kullanabilirim?
İlk terim ve ortak fark bilindiğinde, dizideki herhangi bir terim formülle kolayca bulunabilir.

Sonraki Adımlar

Bu soruyu pekiştirmek için farklı terimlerin verildiği aritmetik dizi problemlerine veya ortak farkı bulma tekniklerine dair örnekler ister misiniz?

@Geronimo34

3

Bir Aritmetik Dizide a₇ = 7 ve a₁₉ = 19 Olduğuna Göre, İlk Terim a₁ Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Aritmetik dizi, her terimi bir önceki terimden sabit bir fark (ortak fark d) kadar farklı olan sayı dizisidir.
  • Verilen: 7. terim (a₇) = 7 ve 19. terim (a₁₉) = 19.
  • Çözüm: Ortak fark d = 1, ilk terim a₁ = 1 (seçenek B).

Bir aritmetik dizinin n. terimi, formülü a_n = a_1 + (n-1)d ile hesaplanır. Verilen a₇ = 7 ve a₁₉ = 19 koşullarını kullanarak, iki denklem kurarız: a_1 + 6d = 7 ve a_1 + 18d = 19. Bu denklemleri çıkararak 12d = 12 elde ederiz, yani d = 1. Sonra a_1 = 7 - 6 \times 1 = 1 bulunur. Bu, YKS TYT seviyesinde standart bir aritmetik dizi sorusudur ve doğru cevap 1’dir.

İçindekiler

  1. Aritmetik Dizinin Temel Kavramları
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi vs Geometrik Dizi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Aritmetik Dizinin Temel Kavramları

Aritmetik dizi, ardışık terimler arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizileridir. Bu farka ortak fark (d) denir. Örneğin, 1, 3, 5, 7… dizisinde d=2’dir.

Genel formül:
n. terim: a_n = a_1 + (n-1)d

Bu formül, dizinin herhangi bir terimini ilk terim ve ortak fark kullanarak bulmamızı sağlar. YKS TYT’de aritmetik diziler, genellikle iki terim verilerek a₁ veya d’nin bulunması şeklinde sorulur.

:light_bulb: Pro İpucu: Diziyi bir merdiven gibi düşünün: Her basamak (terim) önceki basamaktan sabit yükseklikte (d) yukarı çıkar. Negatif d ile diziye doğru iner.

Pratikte, aritmetik diziler finans (faiz hesapları), fizik (hızlı hareket) ve istatistikte kullanılır. Örneğin, sabit hızda giden bir araçta kat edilen mesafeler aritmetik dizi oluşturur.

Adım Adım Çözüm

Verilen problemde, dizinin 7. ve 19. terimleri biliniyor. Not: Soru metninde negatif işaretler (-7 ve -19) görünse de, çoktan seçmeli seçenekler (1,2,3,4) ve standart YKS soruları dikkate alınarak pozitif değerler (7 ve 19) esas alınmıştır. Negatif olsaydı a₁ = -1 çıkardı, ancak seçeneklerde yok.

Adım 1: Denklemleri Kurun

    1. terim: a_7 = a_1 + 6d = 7
    1. terim: a_{19} = a_1 + 18d = 19

Adım 2: Denklemleri Çıkarın

İkinci denklemden birincisini çıkarın:
(a_1 + 18d) - (a_1 + 6d) = 19 - 7
12d = 12
d = 1

Adım 3: a₁’yi Bulun

Birinci denkleme d=1’i yerleştirin:
a_1 + 6 \times 1 = 7
a_1 + 6 = 7
a_1 = 1

Adım 4: Doğrulama

  1. terimi kontrol edin: a_{19} = 1 + 18 \times 1 = 19 (doğru).
    Dizi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (7. terim), …, 19 (19. terim).

Eğer negatif olsaydı:
a_7 = a_1 + 6d = -7
a_{19} = a_1 + 18d = -19
12d = -12 \implies d = -1
a_1 = -7 - 6(-1) = -1
Ancak seçeneklerde -1 yok, bu yüzden orijinal soru muhtemelen pozitif değerlidir.

:warning: Uyarı: YKS’de negatif işaretleri dikkatle okuyun; bazen ekran görüntüsünde karışabilir. Her zaman formülü doğrulayın.

Hızlı Hesap Yöntemi

Terimler arası fark: \frac{a_{19} - a_7}{19-7} = d (aradaki terim sayısı 12’dir, ama formülde (n-m)=12). Bu, d’yi hızlı bulur.

Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi vs Geometrik Dizi

Aritmetik diziler YKS’de sık sorulur, ancak geometrik dizilerle karıştırılabilir. İşte temel farklar:

Özellik Aritmetik Dizi Geometrik Dizi
Terim İlişkisi Her terim önceki + sabit d Her terim önceki × sabit r (oran)
n. Terim Formülü a_n = a_1 + (n-1)d a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Örnek 1, 3, 5, 7 (d=2) 2, 4, 8, 16 (r=2)
Toplam Formülü S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r} (r≠1)
YKS Uygulaması Doğrusal büyüme (mesafe, faiz) Üstel büyüme (nüfus, bileşik faiz)
Bu Sorudaki Uygulama d=1 ile lineer artış Uygulanmaz (sabit fark var)

Ana Fark: Aritmetik dizilerde büyüme sabit (ekleme), geometrikte oranlı (çarpma). Bu soruda sabit fark olduğu için aritmetiktir.

:bullseye: Anahtar Nokta: Geometrik dizide a₇=7, a₁₉=19 olsaydı oran tutmaz; bu yüzden aritmetik doğrulanır.

Özet Tablo

Unsur Değer/Açıklama
İlk Terim (a₁) 1
Ortak Fark (d) 1
7. Terim (a₇) 1 + 6 \times 1 = 7
19. Terim (a₁₉) 1 + 18 \times 1 = 19
Genel Formül a_n = 1 + (n-1) \times 1 = n
Dizi Örneği (İlk 5 Terim) 1, 2, 3, 4, 5
Doğru Seçenek B) 1
YKS İpucu İki terimle d = (a_n - a_m)/(n-m)

Sık Sorulan Sorular

1. Aritmetik dizide ortak fark negatif olursa ne olur?
Dizi azalan olur. Örneğin, d=-1 ile 5, 4, 3, 2… gibi. Bu soruda d=1 pozitif, yani artan dizi.

2. Eğer a₁ ve d biliniyorsa, herhangi bir terim nasıl bulunur?
Formülle: a_n = a_1 + (n-1)d. YKS’de hızlı hesaplama için kısayol: a_n = a_1 + (n-1)d.

3. Bu dizinin toplamı nasıl hesaplanır?
n terim toplamı: S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n). Örneğin, ilk 19 terim: S_{19} = \frac{19}{2} (1 + 19) = 19 \times 10 = 190.

4. Negatif değerler olsaydı cevap değişir mi?
Evet, a₇=-7 ve a₁₉=-19 için a₁=-1 olurdu. Ancak seçeneklerde yok, muhtemelen soru pozitif.

5. Geometrik diziyle karıştırmamak için ne yapmalı?
Farkı oranla kontrol edin: Terimler arasındaki fark sabit mi (aritmetik), oran sabit mi (geometrik)?

Sonraki Adımlar

Bu dizinin ilk 20 terimini listelememi veya benzer bir YKS sorusu çözmemi ister misiniz?

@Geronimo34