3x - y = 3 Olduğuna Göre x^2 + 3xy + y Toplamının En Küçük Değeri İçin x Kaç Olmalıdır?
[KULLANILAN FORMÜLLER:]
- Değişken Değiştirme: İki değişkenli bir ifadeyi tek değişkene indirgeme.
- Tepe Noktası Formülü: f(x) = ax^2 + bx + c parabolünün en küçük veya en büyük değeri için x = r = -\frac{b}{2a} formülü kullanılır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — y Değişkenini x Cinsinden Yazma
Verilen denklemde y ifadesini yalnız bırakalım:
3x - y = 3
y = 3x - 3
Adım 2 — Hedef İfadeyi Tek Değişkenli Fonksiyon Haline Getirme
x^2 + 3xy + y ifadesinde y gördüğümüz yere 3x - 3 yazalım:
f(x) = x^2 + 3x(3x - 3) + (3x - 3)
f(x) = x^2 + 9x^2 - 9x + 3x - 3
f(x) = 10x^2 - 6x - 3
Adım 3 — Fonksiyonun En Küçük Değerini Alması İçin Gereken x Değerini Bulma
Elde ettiğimiz 10x^2 - 6x - 3 bir paraboldür ve kolları yukarı doğrudur (a=10 > 0). Bu fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının apsisidir (r):
r = -\frac{b}{2a}
r = -\frac{-6}{2 \cdot 10}
r = \frac{6}{20}
Adım 4 — Sonucu Sadeleştirme
x = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} (veya ondalık olarak 0,3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] x = \frac{3}{10} (veya 0,3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. İkinci Dereceden Fonksiyonlar (Parabol)
- [Tanım:] ax^2 + bx + c şeklindeki fonksiyonlardır.
- [Bu problemde:] İfadeyi tek değişkene indirgediğimizde bir parabol denklemi elde ettik ve en küçük değeri bulmak için tepe noktasını kullandık.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Türev Almadan veya Tepe Noktası Kullanmadan Tahmin Yapmak
- [Yanlış:] Rastgele değerler vererek denemek.
- [Doğru:] Fonksiyonu f(x) haline getirip tepe noktası formülünü (-\frac{b}{2a}) uygulamak.
- [Neden yanlış:] Minimum değer genellikle tam sayı çıkmaz, bu yüzden sistemli bir çözüm şarttır.
Bu çözümde takıldığın bir nokta oldu mu? İstersen bu sonucun fonksiyonun alabileceği en küçük değeri (yani y sonucunu) nasıl hesaplayacağımızı da inceleyebiliriz?