3^{x + 3} = 54 ve 2^{y + 3} = 40 olduğuna göre
9^{x + 1} + 4^{y + 1} işleminin sonucu kaçtır?
A) 245
B) 200
C) 136
D) 100
E) 54
Üslü İfadelerde Değer Bulma ve Taban Dönüşümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üslü sayılarda çarpma kuralı a^{m+n} = a^m \cdot a^n ve üssün üssü kuralı (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m \cdot n} bağıntıları kullanılarak bilinmeyen taban değerleri elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 3^x Değerini ve 9^{x + 1} İfadesini Bulma
Verilen 3^{x + 3} = 54 eşitliğini üs kuralına göre açarak 3^x değerini yalnız bırakalım:
3^x \cdot 3^3 = 54 \implies 3^x \cdot 27 = 54 \implies 3^x = 2
İstenen 9^{x + 1} ifadesini taban dönüşümü ile 3^x cinsinden yazalım:
9^{x + 1} = 9^x \cdot 9^1 = (3^2)^x \cdot 9 = (3^x)^2 \cdot 9
3^x = 2 \text{ olduğundan, } 9^{x + 1} = 2^2 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36
Adım 2 — 2^y Değerini ve 4^{y + 1} İfadesini Bulma
Verilen 2^{y + 3} = 40 eşitliğini açarak 2^y değerini bulalım:
2^y \cdot 2^3 = 40 \implies 2^y \cdot 8 = 40 \implies 2^y = 5
İstenen 4^{y + 1} ifadesini 2^y cinsinden yazıp hesaplayalım:
4^{y + 1} = 4^y \cdot 4^1 = (2^2)^y \cdot 4 = (2^y)^2 \cdot 4
2^y = 5 \text{ olduğundan, } 4^{y + 1} = 5^2 \cdot 4 = 25 \cdot 4 = 100
Adım 3 — Toplamı Hesaplama
Bulunan değerleri toplayarak sonuca ulaşalım:
9^{x + 1} + 4^{y + 1} = 36 + 100 = 136
CEVAP: C) 136 (9^{x + 1} + 4^{y + 1} = 136)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür sorularda x veya y değerlerini logaritma ile ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, tabanlar arasındaki kat ilişkilerini (3 \to 9 ve 2 \to 4) görüp (a^x)^2 biçiminde yerine koymak en hızlı çözümü verir.