3x +35 ifadesini pozitif tam sayi yapan kaç-
X+3
farklı x tam sayısı vardır?
A) 4
B) 5
C)6
D) 7
E) 8
\frac{3x + 35}{x + 3} İfadesini Pozitif Tam Sayı Yapan x Tam Sayı Değerlerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Rasyonel cebirsel ifadelerde tam sayı analizi yapmak için polinom bölmesi uygulanarak ifade tam sayılı kesir biçimine dönüştürülür:
\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{Bölüm} + \frac{\text{Kalan}}{Q(x)}
Bu soruda:
\frac{3x + 35}{x + 3} = \frac{3(x + 3) + 26}{x + 3} = 3 + \frac{26}{x + 3}
İfadenin pozitif tam sayı (\mathbb{Z}^+) olabilmesi için:
- x + 3 ifadesi 26 sayısının tam böleni olmalıdır.
- Sonucun 3 + \frac{26}{x + 3} > 0 şartını sağlaması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 26 Sayısının Tam Sayı Bölenlerini Belirleme
26 sayısının pozitif ve negatif tüm tam sayı bölenleri:
\text{Bölenler} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26\}
Adım 2 — Pozitif Bölenler İçin İnceleme
- x + 3 = 1 \implies x = -2 \implies 3 + \frac{26}{1} = 29 > 0
- x + 3 = 2 \implies x = -1 \implies 3 + \frac{26}{2} = 16 > 0
- x + 3 = 13 \implies x = 10 \implies 3 + \frac{26}{13} = 5 > 0
- x + 3 = 26 \implies x = 23 \implies 3 + \frac{26}{26} = 4 > 0
Bu gruptan 4 farklı x değeri gelir.
Adım 3 — Negatif Bölenler İçin İnceleme
- x + 3 = -1 \implies x = -4 \implies 3 + \frac{26}{-1} = -23 \le 0
(Pozitif değil) - x + 3 = -2 \implies x = -5 \implies 3 + \frac{26}{-2} = -10 \le 0 (Pozitif değil)
- x + 3 = -13 \implies x = -16 \implies 3 + \frac{26}{-13} = 3 - 2 = 1 > 0
- x + 3 = -26 \implies x = -29 \implies 3 + \frac{26}{-26} = 3 - 1 = 2 > 0
Bu gruptan 2 farklı x değeri gelir.
Adım 4 — Uygun x Değerlerinin Toplam Sayısını Bulma
Sağlayan x değerleri kümesi:
x \in \{-29, -16, -2, -1, 10, 23\}
Toplamda 6 farklı x tam sayısı bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinom Bölmesiyle Basit Kesre Ayırma
- Tanım: Payın derecesi paydanın derecesine eşit veya büyükse, ifade tam kısım ve basit kesir toplamı şeklinde ayrıştırılır.
- Bu problemde: \frac{3x+35}{x+3} kesri 3 + \frac{26}{x+3} biçimine getirilerek x’in yalnızca paydada yer alması sağlanmıştır.
2. Pozitif Tam Sayı Şartı (\mathbb{Z}^+)
- Tanım: Sıfırdan büyük olan tam sayılardır (\{1, 2, 3, \dots\}).
- Bu problemde: İfadenin tam sayı olması yetmez; sonucun en az 1 olması gerektiğinden negatif bölenlerden ikisi (-1 ve -2) elenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Bölenleri İhmal Etmek ya da Tamamını Pozitif Yapıyor Saymak
- Yanlış: Yalnızca pozitif bölenleri alıp cevabı 4 bulmak veya negatif bölenlerin sonucunun pozitif çıkıp çıkmadığını kontrol etmeden direkt 8 demek.
- Doğru: Negatif bölenlerin verdiği sonuçları tek tek hesaplayarak 3 + \frac{26}{x+3} > 0 eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını doğrulamak.
- Neden yanlış: x negatif olabilir, payda negatif olabilir; önemli olan kesrin nihai sonucunun pozitif bir tam sayı olmasıdır.
Bu soru tipinde polinom bölmesini hızlandırmak için pratik bir yöntem veya benzer bir KPSS sorusu çözmemi ister misin?