√(3x+1) - x = -1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Question Answer
1

\sqrt{3x+1} - x = -1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \{0\}
B) \{5\}
C) \{0, 5\}
D) \{1, 5\}
E) \{0, 1\}

√(3x+1) - x = -1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
√(3x+1) - x = -1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?765×1024 121 KB

2

Köklü Denklem Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \sqrt{f(x)} = g(x) \implies f(x) = [g(x)]^2 \quad \text{ve} \quad g(x) \ge 0
  • Çift dereceli köklü ifadelerin sonucu negatif olamaz. Karesi alınarak bulunan köklerin mutlaka orijinal denklemde denenmesi (veya tanım aralığının kontrol edilmesi) gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Köklü İfadeyi Yalnız Bırakma ve Tanım Aralığını Belirleme
Eşitlikteki -x terimini karşı tarafa atarak köklü ifadeyi yalnız bırakalım:

\sqrt{3x+1} = x - 1

Karekökün sonucu daima sıfır veya pozitif olmak zorunda olduğundan:

x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1

Ayrıca kök içi de negatif olamaz: 3x + 1 \ge 0 \implies x \ge -\frac{1}{3}. İki koşulun kesişimi x \ge 1 olmalıdır.

Adım 2 — Her İki Tarafın Karesini Alma
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak kökten kurtulalım:

(\sqrt{3x+1})^2 = (x - 1)^2
3x + 1 = x^2 - 2x + 1

Adım 3 — İkinci Dereceden Denklemi Düzenleme ve Çözme
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0
x^2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0

Buradan aday kökler:

x_1 = 0 \quad \text{veya} \quad x_2 = 5

Adım 4 — Köklerin Sağlamasını Yapma

  • x = 0 için:
    \sqrt{3(0) + 1} - 0 = \sqrt{1} = 1 \ne -1 \quad \text{(Yalancı köktür, denklemi sağlamaz)}
  • x = 5 için:
    \sqrt{3(5) + 1} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1 \quad \text{(Denklemi sağlar)}

Dolayısıyla çözüm kümesi yalnızca \{5\} elemanından oluşur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) \{5\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Yalancı Kök (Extraneous Root): Bir denklemin her iki tarafının karesi alındığında ortaya çıkan ancak orijinal denklemi sağlamayan köklerdir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: x(x-5) = 0 denkleminden çıkan 0 ve 5 değerlerini kontrol etmeden doğrudan çözüm kümesini \{0, 5\} (C şıkkı) olarak işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Köklü denklemlerde kare alma işleminden sonra bulunan tüm kökleri orijinal denklemde yerine yazarak kontrol etmek veya x - 1 \ge 0 şartını dikkate almak.

Benzer bir köklü denklem sorusuyla pratik yapmak ister misin?