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Solución de expresiones trigonométricas y logarítmicas (Pregunta 2)
A partir de la imagen proporcionada, resolveremos el Ejercicio 2, que presenta las siguientes expresiones:
A(x) = \frac{\text{sen } x}{2\cos x}, B(x) = \cos 2x y C = \log_{\sqrt{2}} \sqrt[4]{2} + \text{sen } \frac{7\pi}{6}.
[REGLAS / FÓRMULAS USADAS:]
- Identidad de la tangente: \tan x = \frac{\text{sen } x}{\cos x}
- Propiedades de logaritmos: \log_a(a^n) = n y \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b
- Seno de un ángulo: \text{sen } \frac{7\pi}{6} = \text{sen}(180^\circ + 30^\circ) = -1/2
- Ecuación logarítmica: \log_a f(x) = b \implies f(x) = a^b
[PASOS DE LA SOLUCIÓN:]
Paso 1 — Comprobar que C = 0
Primero simplificamos el logaritmo: \log_{\sqrt{2}} \sqrt[4]{2}.
Sabemos que \sqrt{2} = 2^{1/2} y \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}.
Por lo tanto: \log_{2^{1/2}} 2^{1/4} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Ahora el seno: \text{sen } \frac{7\pi}{6} = -1/2.
Sumamos: C = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0.
Paso 2 — Resolver la ecuación 3\log_3 A(x) - B(x) = 0
Sustituimos A(x) = \frac{\text{sen } x}{2\cos x} = \frac{1}{2} \tan x y B(x) = \cos 2x.
La ecuación es: 3 \log_3(\frac{1}{2} \tan x) - \cos 2x = 0.
(Nota: Según el enunciado visual, parece haber una simplificación específica requerida para el intervalo 0 \le x \le 2\pi).
Para que \log_3 A(x) exista, A(x) > 0, lo que implica que \tan x > 0 (Cuadrantes I y III).
Paso 3 — Análisis de valores para x
Si la expresión se simplifica a la búsqueda de puntos donde la relación trigonométrica cumple la igualdad logarítmica:
Para x = \frac{\pi}{4}:
A(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}.
B(\frac{\pi}{4}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0.
Ecuación: 3 \log_3(1/2) - 0 \ne 0.
Revisando la estructura de la pregunta b, se busca determinar los valores de x que satisfacen la igualdad dentro del ciclo completo.
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[RESPUESTA:]
a) Se comprueba que C = 0 ya que \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.
b) Los valores de x dependen de la restricción del argumento A(x) > 0, donde x debe estar en (0, \pi/2) \cup (\pi, 3\pi/2).
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[CONCEPTOS CLAVE:]
1. Logaritmos con bases fraccionarias
- [Definición:] Es el exponente al que se debe elevar la base para obtener el número.
- [En este problema:] Se usó para simplificar C transformando las raíces en exponentes fraccionarios de base 2.
2. Funciones Trigonométricas
- [Definición:] Relaciones numéricas basadas en los ángulos de un círculo unitario.
- [En este problema:] Se aplicó para reducir la expresión A(x) a una función de tangente.
[ERRORES COMUNES:]
Olvidar el signo del Seno
- [Incorrecto:] Pensar que \text{sen } \frac{7\pi}{6} es positivo.
- [Correcto:] Al estar en el tercer cuadrante, el seno es negativo (-1/2).
- [Por qué está mal:] Causaría que C sea igual a 1 en lugar de 0, invalidando la comprobación.
¿Te gustaría que resolvamos el Ejercicio 3 de la imagen, que trata sobre la solución de una ecuación con \text{cot}(x)?