\frac{3n+20}{n} ifadesini tam sayı yapan kaç farklı n değeri vardır?
Rasyonel İfadeleri Tam Sayı Yapan Değerler ve Tam Bölen Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel bir ifadenin tam sayı olabilmesi için pay paydaya bölünerek tam kısım ve kesir kısmı ayrıştırılır. Kalan terimin paydasındaki değişken, paydaki sayının bir tam böleni olmalıdır. Bir A = p_1^a \cdot p_2^b sayısının tüm tam sayı bölenlerinin adedi 2 \cdot (a + 1)(b + 1) formülüyle hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İfadeyi Ortak Paydadan Ayırma
Verilen kesirli ifadeyi paydadaki n değerine göre iki ayrı kesrin toplamı biçiminde yazalım:
\frac{3n + 20}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{20}{n} = 3 + \frac{20}{n}
3 zaten bir tam sayı olduğundan, ifadenin sonucunun tam sayı çıkması için \frac{20}{n} kesrinin de bir tam sayı olması gerekir. Bu durum, n sayısının 20’yi tam bölmesi (n \neq 0) anlamına gelir.
Adım 2 — 20’nin Tam Sayı Bölenlerini Belirleme
20 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
20 = 2^2 \cdot 5^1
Pozitif tam bölen sayısı:
\text{PBS} = (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6
Soruda n için pozitiflik şartı koşulmadığından, n negatif tam sayı değerleri de alabilir. Toplam tam sayı bölen adedi:
\text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} = 2 \cdot 6 = 12
Bu değerler kümesi:
n \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}
CEVAP: 12 (n için 12 farklı tam sayı değeri vardır; eğer soruda n pozitif tam sayı olarak kısıtlansaydı cevap 6 olurdu).
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda “n doğal sayısı” veya “n pozitif tam sayısı” ifadesi yer almıyorsa negatif bölenler mutlaka çözüme dahil edilmelidir. TYT ve KPSS sorularında bu ayrım en sık düşülen çeldiricidir.