3m soru

LGS
1

@sorumatikbot

17476484813841079975163021570230
17476484813841079975163021570230720×956 23 KB

2

Sorunun çözümü:

Soruda verilen bilgiler:

  • Dikdörtgensel yan yüzeyin bir kenarı diğerinin iki katına eşittir.
  • Dikdörtgensel yüzeyin köşegen uzunluğu 10 cm’dir.
  • Taban alanı sorulmakta, \pi = 3 olarak alınacak.

Adım Adım Çözüm:

1. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleme:

Dikdörtgenin iki kenarını sırasıyla:

  • kısa kenar = a
  • uzun kenar = 2a (çünkü diğer kenar kısa kenarın iki katı) olarak adlandıralım.

Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu, Pisagor teoremine göre hesaplanabilir:

\text{Köşegen} = \sqrt{(kısa kenar)^2 + (uzun kenar)^2}

Bu durumda:

10 = \sqrt{a^2 + (2a)^2}

2. Denklemi çözme:

10 = \sqrt{a^2 + 4a^2}
10 = \sqrt{5a^2}
10^2 = 5a^2
100 = 5a^2
a^2 = 20
a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

3. Silindirin taban alanını bulma:

Taban alanı bir daire olduğundan, formül şudur:

A = \pi \cdot r^2

Taban yarıçapı (r), dikdörtgenin kısa kenar uzunluğuna eşittir, çünkü kısa kenar, silindirin tabanını oluşturan dairenin çapıdır. Bu durumda, r = a = \sqrt{20}.

Taban alanı formülünü yerine koyarak hesap yapalım:

A = 3 \cdot (\sqrt{20})^2
A = 3 \cdot 20
A = 60 \, \text{cm}^2

Bu sonuçlardan hareketle verilen şıklara uyumlu doğru cevap olmaması ama C veya önerilir.

3

Yukarıdaki soru:
“Bir dik dairesel silindire ait dikdörtgen şeklindeki yan yüzey verilmiştir. Yan yüzeyin kenarlarından biri diğerinin iki katına eşit ve köşegen uzunluğu 10 cm’dir. Buna göre silindirin taban alanı (π = 3 alınarak) kaç santimetrekare olabilir?”

Cevap:

İçindekiler

  1. Sorunun İncelenmesi
  2. Dikdörtgenin Özellikleri
  3. Silindirin Yan Yüzeyi & Bağıntılar
  4. Aşamalı Çözüm
  5. Sonuç
  6. Özet Tablo

1. Sorunun İncelenmesi

• Dik dairesel silindirin “yan yüzeyi” bir dikdörtgen şeklindedir.
• Bu dikdörtgenin bir kenarı diğerinin iki katıdır.
• Dikdörtgenin köşegeni 10 cm uzunluğundadır.
• π = 3 verilmiştir.

Bir silindirde yan yüzey, “yükseklik (h)” ile “tabanın çevresi (2πr)” ölçülerinden oluşan bir dikdörtgendir. Burada:
• Dikdörtgenin bir kenarı = 2πr
• Dikdörtgenin diğer kenarı = h

2. Dikdörtgenin Özellikleri

Dikdörtgende iki kenar (a ve b) ve köşegen (d) arasında

a^2 + b^2 = d^2

bağıntısı vardır.

3. Silindirin Yan Yüzeyi & Bağıntılar

• Silindirin taban çevresi = 2πr
• Silindirin yüksekliği = h
• Yan yüzey dikdörtgeninin uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki ilişki: “bir kenar diğerinin iki katı”

Bu senaryoda, hangi kenarın çevre, hangi kenarın yükseklik olduğu önemlidir. İki olasılık vardır:

  1. H (yükseklik) = x, Çevre = 2x
  2. Çevre = x, H (yükseklik) = 2x

Hangisinin mantıklı sonuç verdiğini bulmak için aşağıdaki adımları izleriz.

4. Aşamalı Çözüm

  1. Dikdörtgen kenarlarını a ve 2a şeklinde tanımlayalım. Köşegenin 10 cm olduğu bildirilmiş:

    a^2 + (2a)^2 = 10^2 = 100

    Dolayısıyla

    a^2 + 4a^2 = 100 \\ 5a^2 = 100 \\ a^2 = 20 \\ a = \sqrt{20}

  2. Şimdi “a” ve “2a” değerlerinin hangisinin 2πr (çevre), hangisinin yükseklik h olduğu durumu inceleyelim:

    • Olasılık A: (h = a) ve (Çevre = 2πr = 2a)

      • Bu durumda 2πr = 2a → πr = a → r = a / π
      • Taban alanı = πr² = π (a/π)² = (a² / π). a² = 20 olduğundan bu değer 20/π. π = 3 alındığında 20/3 ≈ 6,67… Ki şıklarda yoktur.

    • Olasılık B: (Çevre = 2πr = a) ve (h = 2a)

      • Bu defa 2πr = a → r = a / (2π)
      • Taban alanı = πr² = π · (a / (2π))²
        = \pi \cdot \frac{a^2}{4\pi^2} = \frac{a^2}{4\pi}
      • a² = 20 → taban alanı = 20 / (4π) = 5 / π
      • π = 3 alındığında 5 / 3 = 1,66…

    Şıklar içerisinde 5/3 mevcuttur. Dolayısıyla 5/3 cm² karşımıza çıkan sonuçtur.

5. Sonuç

Bu problemde mantıklı eşleştirme, “yan yüzeyin küçük kenarı” = çevre (2πr) ve “büyük kenarı” = yükseklik h olacak şekilde (çünkü büyük kenar, küçük kenarın iki katı). Bu durumda taban alanı hesaplandığında 5/3 (cm²) elde edilir.

Doğru cevap: 5/3 (C Şıkkı).

6. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Dikdörtgen Kenarları a ve 2a (Köşegen = 10 cm) a² + (2a)² = 100 → a²=20
2. Kenar Olasılığı (2πr = a) ve (h = 2a) durumunu test etme Uygun sonuç sağladı
3. Yarıçapı Hesaplama 2πr = a → r = a/(2π) a=√20 → r=√20/(2π)
4. Taban Alanı (πr²) π · (a/(2π))² = a²/(4π) 20/(4π) = 5/π
5. π=3 Alındığında 5/π = 5/3 → 1,666… 5/3 cm²
6. Şık Doğrulaması Seçenekler: 3, 5, 5/3, 2/3 5/3 doğru cevap

Bu hesapla silindirin taban alanı 5/3 cm² bulunur.

@Rumeys

4

Yukarıdaki soru:
Dik bir silindirin yan yüzeyi dikdörtgen şeklindedir. Bu dikdörtgenin bir kenarı diğerinin iki katı ve köşegeni 10 cm olarak verilmiştir. Silindirin taban alanı (π = 3 alınarak) aşağıdakilerden hangisi olabilir? (Seçenekler: 3, 5, 5/3, 2/3)

Cevap:

İçindekiler

  1. Problemin Özeti
  2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
  3. Dik Silindirin Yan Yüzeyi ve Ölçü İlişkileri
  4. Adım Adım Çözüm
    1. 1. Yan Yüzey Kenarlarının İlişkisi
    2. 2. Dikdörtgenin Köşegeni
    3. 3. Silindirin Taban Yarıçapını Bulma
    4. 4. Taban Alanını Hesaplama
  5. Örnek Hesaplamaların Ayrıntıları
  6. Olası Hata Noktaları ve Kontroller
  7. Sonuç ve Kısa Özet
  8. Çözüm Tablosu

1. Problemin Özeti

Bir dik silindirin yan yüzeyi dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı diğerinin 2 katı olacak biçimde ayarlanmıştır ve bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu 10 cm olarak verilmiştir. Bu dikdörtgenin bir kenarı, silindirin yüksekliği (h), diğer kenarı ise (2πr) biçiminde silindirin çevresidir (r = yarıçap). Soruda bizden bu bilgi doğrultusunda silindirin taban alanının kaç cm² olabileceği isteniyor. π değeri kolaylık sağlamak üzere 3 alınmıştır.

Seçenekler:
A) 3
B) 5
C) 5/3
D) 2/3

2. Temel Bilgiler ve Tanımlar

  • Dik Silindir: Yüksekliği, tabanındaki yarıçap merkezinden dik olarak yükselen silindir tipidir.
  • Yan Yüzey (Dikdörtgen): Silindirin açılmış hali dikdörtgen şeklindedir. Bu dikdörtgende, uzun kenar genellikle silindirin çevresine (2πr) eşit, kısa kenar ise silindirin yüksekliğine (h) eşit olur.
  • Taban Alanı: Bir silindirin taban alanı (daire alanı) πr^2 ifadesiyle hesaplanır. Soruda \pi = 3 olarak verilmiştir.

3. Dik Silindirin Yan Yüzeyi ve Ölçü İlişkileri

Bir dik silindire ait yan yüzeyi kesip düzleştirdiğinizde oluşan dikdörtgenin:

  • Bir kenarı = silindirin yüksekliği, h.
  • Diğer kenarı = silindirin tabanının çevresi, 2\pi r.

Burada problemde bir kenar diğerinin iki katı olacak şekilde verilmiş ve bu yan yüzeyin köşegen uzunluğu 10 cm. Bu iki kenar arasında hangi kenarın iki kat, hangi kenarın tek kat olduğu önemlidir.

4. Adım Adım Çözüm

4.1. Yan Yüzey Kenarlarının İlişkisi

Soru “Yan yüzeyin kenarlarından biri, diğerinin iki katına eşit” diyor. Bu iki kenardan biri h (yükseklik), diğeri 2\pi r (çevre). Dolayısıyla iki olası senaryo vardır:

  • Senaryo A: h = 2 \times (2\pi r)
  • Senaryo B: 2\pi r = 2 \times h

Bu iki olasılıktan hangisinin taban alanını seçeneklerden birine götürdüğünü araştırarak doğru cevabı buluruz.

4.2. Dikdörtgenin Köşegeni

Dikdörtgenin kenarları h ve (2\pi r) ise, köşegeni de Pisagor Teoremi’ne göre şu şekilde bulunur:

\sqrt{h^2 + (2\pi r)^2} = 10

Soruda \pi = 3 alındığına dikkat ederek devam edeceğiz.

4.3. Silindirin Taban Yarıçapını Bulma

Olasılık (Senaryo A)

h = 2 \times (2\pi r) \implies h = 4\pi r.
Köşegen = \sqrt{(4\pi r)^2 + (2\pi r)^2}.
Burada sayısal olarak ilerlediğimizde:

  • (4\pi r)^2 = 16 \pi^2 r^2,
  • (2\pi r)^2 = 4 \pi^2 r^2,
  • Toplam = 16\pi^2 r^2 + 4\pi^2 r^2 = 20 \pi^2 r^2.
    Dolayısıyla köşegen = \sqrt{20\pi^2 r^2} = \pi r \sqrt{20}.

Bu değerin 10 olduğu verilmiş. Dolayısıyla:

\pi r \sqrt{20} = 10.

Ancak \pi = 3 alınınca:

3r \sqrt{20} = 10 \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{10}{3\sqrt{20}}.

Bu yolla $r$’nin değeri bulunur; ardından h ve taban alanı πr^2 hesaplanır. Fakat bu senaryonun sonucunu seçeneklerle (3, 5, 5/3, 2/3) kıyasladığımızda çoğu zaman tam eşleşmediği, daha büyük bir değere kaydığı görülecektir. Detayları adım 5’te inceleyeceğiz.

Olasılık (Senaryo B)

2\pi r = 2 \times h \implies 2\pi r = 2h \implies \pi r = h.
veya

h = \frac{2\pi r}{2} = \pi r.

Ancak soru metninde “Yan yüzeyin kenarlarından biri diğerinin iki katına eşittir” ifadesinden yola çıkarak senaryoyu biraz daha net yazalım. Aslında şöyle bir yaklaşım daha kolay olur:

  • Dikdörtgenin iki kenarı: h ve 2\pi r.
  • Birisi diğerinin iki katı:
    • Seçenek 1: h = 2(2\pi r).
    • Seçenek 2: 2\pi r = 2h.

Bu ikinci seçeneği yeniden düzenlersek:

2\pi r = 2h \quad \Longrightarrow \quad \pi r = h.

Ancak soru çözümünde asıl tutarlı sonuç şu şekilde ortaya çıkar: Dikdörtgendeki küçük kenar = 2\pi r (silindirin çevresi), büyük kenar = h. Çünkü “biri diğerinin iki katı” ifadesini genelde yükseklik, çevrenin iki katıymış gibi düşünebiliriz veya tam tersi. Hangisinin doğru olduğunu, köşegenin 10 cm olmasıyla test ederek buluruz. Ayrıntı hesap için önce hangi kenarı büyük, hangi kenarı küçük aldığımız önemli.

Gelin en çok kullanılan doğru kurgu:

“Yükseklik, çevrenin iki katıdır” → h = 2(2\pi r).
Veya
“Çevre, yüksekliğin iki katıdır” → 2\pi r = 2h.

Bu iki kurguya göre köşegen 10 cm olarak çözüldüğünde yalnızca bir tanesi seçeneklerdeki değerleri verir.

Deneyelim: “Çevre küçük kenar, yükseklik büyük kenar” yani h = 2(2\pi r)

  • Bu durumda kenarlar: (4\pi r) ve (2\pi r).
  • Köşegen = \sqrt{(4\pi r)^2 + (2\pi r)^2} = \sqrt{16\pi^2 r^2 + 4\pi^2 r^2} = \pi r \sqrt{20}.
  • Eşittir 10 ⇒ \pi r \sqrt{20} = 10.
  • \pi = 3 ⇒ 3r \sqrt{20} = 10 ⇒ r = \dfrac{10}{3\sqrt{20}}.
    Ardından taban alanı = \pi r^2 = 3 \times \left(\dfrac{10}{3\sqrt{20}}\right)^2 = \dots Bu işlem detayda genelde seçeneklerimizden birine basitçe oturmaz (inci adımda göreceğiz).

Diğer olasılık: “Yükseklik küçük kenar, çevre büyük kenar” yani 2\pi r = 2h

  • Burada 2\pi r kenarı h kenarından iki kat büyük olsun.
    • 2\pi r = 2h \implies \pi r = h.
  • Kenarlar: h ve 2\pi r = 2h.
  • Köşegen = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{h^2 + 4h^2} = \sqrt{5h^2} = h\sqrt{5}.
  • Bu köşegenin 10 cm olduğu veriliyor ⇒ h\sqrt{5} = 10 ⇒ h = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}.

Bu durumda:

  • 2\pi r = 2h \implies 2\pi r = 2 \cdot (2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}.
  • \pi = 3 alındığında 2 \times 3 \times r = 6r = 4\sqrt{5} \implies r = \frac{4\sqrt{5}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{3}.

Şimdi taban alanı = \pi r^2 = 3 \times \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2.

  • Parantez içi = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4 \times 5}{9} = \frac{20}{9}.
  • Çarpı 3 ⇒ 3 \times \frac{20}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}.

Bu \frac{20}{3} değeri seçenekler de yok! O zaman bir yerde boyutları ters tutmamız gerekiyor. Çünkü “Biri diğerinin iki katı” demek, hangi kenarın büyük olduğu hakkında doğrudan ipucu verse de, tam formülasyonda belki de “küçük olan kenar = 2 \times (öteki kenar)” demekti.

Basitçe, dikdörtgen kenarı a ve b olsun. “Biri diğerinin iki katı” diyelim:

  • b = 2a veya a = 2b.
    Köşegen de 10:
  • \sqrt{a^2 + b^2} = 10.

Eğer b = 2a ise:

  • a^2 + (2a)^2 = 10^2 \implies a^2 + 4a^2 = 100 \implies 5a^2 = 100 \implies a^2 = 20 \implies a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
  • b = 2a = 4\sqrt{5}.

Eğer a = 2b ise:

  • (2b)^2 + b^2 = 10^2 \implies 4b^2 + b^2 = 100 \implies 5b^2 = 100 \implies b^2 = 20 \implies b = 2\sqrt{5} \implies a = 4\sqrt{5}.

Görüldüğü üzere, hangi kenarı “a” hangi kenarı “b” seçtiğimize göre “4√5 - 2√5” şekli birbirine dönüşüyor. Şimdi silindirde bu iki değerden hangisi yüksekliği, hangisi çevreyi temsil ediyor, orada dikkatli olmalıyız.

  • Silindirin çevresi: 2\pi r = (2)(3)r = 6r.
  • Silindirin yüksekliği: h.

Doğru eşleşme:

  • b = 2\sqrt{5} ve a = 4\sqrt{5} olsun.
  • Eğer “b = 2\sqrt{5}” (küçük taraf) = 6r (çevre) dersek: 6r = 2\sqrt{5} \implies r = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
  • Bu durumda a = 4\sqrt{5} = h (yükseklik).

Sonrasında taban alanı = \pi r^2 = 3 \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2.
Şimdi ayrıntılı görelim:

  1. r = \frac{\sqrt{5}}{3}.
  2. r^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}.
  3. \pi r^2 = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}.

Bu sonuç tam olarak seçenekler arasında bulunan 5/3 değeridir.

Dolayısıyla taban alanı = \frac{5}{3} \, \text{cm}^2.

4.4. Taban Alanını Hesaplama

Yukarıdaki bulgulara göre net sonuç:

\boxed{\text{Taban Alanı} = \frac{5}{3} \text{ cm}^2.}

Yani seçeneklerden C) 5/3 doğru cevaptır.

5. Örnek Hesaplamaların Ayrıntıları

  • Köşegen Denklemi: \sqrt{a^2 + b^2} = 10.
  • “Biri diğerinin iki katı” ⇒ b = 2a (veya a = 2b).
  • İki kat olma durumu net şekilde b = 2a diye stoklayınca a = 2\sqrt{5}, b = 4\sqrt{5}.
  • Bu iki değerden daha küçük olanı çevreye (2\pi r) eşitlediğimizde r’yi buluyoruz, sonra taban alanını hesaplıyoruz. Seçeneklerle uyumu 5/3 sağlıyor.

6. Olası Hata Noktaları ve Kontroller

  1. Kenarı yanlış büyüklükle eşleştirme: Yan dikdörtgendeki “büyük kenar = çevre, küçük kenar = yükseklik” diye düşünmek bazen bizi yanlış sonuçlara götürür. Hangi kenarın hangi fiziksel uzunluğa karşılık geldiğine dikkat etmeliyiz.
  2. π Değerini 3 Almak: Hesaplamalarda \pi = 3 almak, özellikle 6r gibi ara değerlerde sonuca büyük etki yapar. Bu, normalde 6.28… yerine 6 olarak geçmemize yol açar.
  3. Seçenekleri Denetleme: Bulduğumuz sonuç, sorudaki seçeneklerden biri ile kesin uyum içinde olmalı. Elde edilen değerin yaklaşık mı tam mı olduğuna dikkat etmek gerekir.

7. Sonuç ve Kısa Özet

Dik silindirin yan yüzeyini oluşturan dikdörtgenin bir kenarının diğerinin iki katı olduğu ve köşegen uzunluğunun 10 cm; ayrıca \pi = 3 alındığı durumda,

  • Silindirin taban yarıçapını \displaystyle r = \frac{\sqrt{5}}{3},
  • Taban alanını \displaystyle \pi r^2 = \frac{5}{3}

olarak buluyoruz. Bu değer seçeneklerden C) 5/3 ile uyuşmaktadır.

8. Çözüm Tablosu

Adım Yapılan İşlem Sonuç / Denklem
1. Dikdörtgen Kenar İlişkisi Bir kenar diğerinin 2 katı (b=2a) a ve b şeklinde ifade
2. Köşegen Denklemi \sqrt{a^2 + b^2} = 10, b=2a a^2 + (2a)^2 = 100 \implies a=2\sqrt{5}, b=4\sqrt{5}
3. Silindir Kenarlarına Eşleştirme 2\pi r küçük kenar olarak alınır, h büyük kenar 2\pi r = 2\sqrt{5}, h=4\sqrt{5}
4. Yarıçap Bulma 6r = 2\sqrt{5} (çünkü \pi=3 \implies 2\pi = 6) r = \dfrac{2\sqrt{5}}{6} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}
5. Taban Alanı Hesabı \pi r^2 = 3 \times \left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 \dfrac{5}{3}
6. Seçenek Kontrolü 3, 5, 5/3, 2/3 arasında Cevap: \dfrac{5}{3} (Seçenek C)

Doğru cevap: \boxed{\frac{5}{3}\,\text{cm}^2}.

@Rumeys