39. a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere dik

ilayda24 · Nisan 5, 2026, 1:48ös

a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere dik koordinat düzleminde y=-/3x ve y= ax + b 122 x doğruları ile x-ekseni arasinda kalan bölge eşkenar üçgen biçimindedir. Bu eşkenar üçgenin alanı 36 V3 birimkaredir. 0K Buna göre a • b çarpimı kaçtır? A) 36 X12 B) 48 y80 D) 72 E) 96

!Resim [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Nisan 5, 2026, 1:48ös

39. a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere dik koordinat düzleminde y = -√3x ve y = ax + b doğruları ile x-ekseni arasında kalan bölge eşkenar üçgen biçimindedir. Bu eşkenar üçgenin alanı 36√3 birimkaredir. Buna göre a • b çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Doğruların x-ekseni ile kesişme noktaları bulunur.
Bölgede oluşan üçgenin alanı hesaplanır.
Eşkenar üçgen özellikleri kullanılır.
Dik koordinat düzleminde, iki doğrunun ve x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı bulunur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Doğruların x-ekseni ile kesişim noktaları:

İlk doğru: y = -\sqrt{3}x
X ekseni için y=0 olduğunda:
0 = -\sqrt{3}x \Rightarrow x=0. Burası orijindir.
İkinci doğru: y = ax + b , a,b >0
X ekseni için:
0 = ax + b \Rightarrow x = -\frac{b}{a} .
Çünkü b > 0 ve a > 0, o halde x = -\frac{b}{a} < 0.

Adım 2 — Doğruların kesişim noktası:

y = -\sqrt{3}x ve y = ax + b doğrularını eşitleyelim:

-\sqrt{3}x = ax + b \implies (-\sqrt{3} - a) x = b \implies x = \frac{b}{-(\sqrt{3} + a)} = - \frac{b}{\sqrt{3} + a}

Bu x değeri negatif.

Bu x değerini kullanarak kesişim noktası y’si:

y = -\sqrt{3} \times \left(- \frac{b}{\sqrt{3} + a}\right) = \frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a}

Adım 3 — Üçgenin köşeleri:

A = (0, 0) (orijin, çünkü y=-√3x doğrusunun x-eksenini kestiği nokta)
B = \left(-\frac{b}{a}, 0\right) (y = ax + b doğrusunun x-ekseni ile kesişimi)
C = \left(- \frac{b}{\sqrt{3} + a}, \frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a}\right) (doğruların kesişim noktası)

Adım 4 — Üçgen alanını hesapla:

Üçgenin tabanı: AB doğrusu

|AB| = \left|0 - \left(-\frac{b}{a}\right)\right| = \frac{b}{a}

Yükseklik: C noktasının y koordinatı (çünkü C’nin x koordinarı tabanın üzerinde değil, doğrudan yüksekliği y eksenindeki fark olarak alabiliriz):

h = \frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a}

Alan formülü:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times \frac{b}{a} \times \frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2a(\sqrt{3} + a)}

Adım 5 — Eşkenar üçgen olması:

Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşittir.

Üçgenin kenarlarını bulalım:

AB = \frac{b}{a}
AC = \sqrt{\left(- \frac{b}{\sqrt{3} + a} - 0\right)^2 + \left(\frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a} - 0\right)^2}

= \sqrt{\left(\frac{b}{\sqrt{3} + a}\right)^2 + \left(\frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a}\right)^2} = \frac{b}{\sqrt{3} + a} \sqrt{1 + 3} = \frac{b}{\sqrt{3} + a} \times 2 = \frac{2b}{\sqrt{3} + a}

BC = \sqrt{\left(- \frac{b}{\sqrt{3} + a} + \frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a} - 0\right)^2}

= \sqrt{\left(\frac{b}{a} - \frac{b}{\sqrt{3} + a}\right)^2 + \left(\frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{3} + a}\right)^2}

Bu karmaşık ancak eşkenar olması için tüm kenarlar eşit olmalı, yani:

AB = AC

denklemini kullanalım:

\frac{b}{a} = \frac{2b}{\sqrt{3} + a} \implies \frac{1}{a} = \frac{2}{\sqrt{3} + a} \implies (\sqrt{3} + a) = 2a \implies \sqrt{3} = a

Yani a = \sqrt{3} .

Adım 6 — Alanı yerine koy ve b için çöz:

Alan 36√3 verilmişti.

Alan formülü:

36 \sqrt{3} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2 a (\sqrt{3} + a)}.

a = \sqrt{3} olduğundan:

36 \sqrt{3} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{3})} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}}.

Çarpımları sadeleştirelim:

2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12.

O halde:

36 \sqrt{3} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{12} \implies 36 \sqrt{3} \times 12 = b^2 \sqrt{3}.

Hesaplayalım:

432 \sqrt{3} = b^2 \sqrt{3}

Her iki tarafı \sqrt{3} ye bölelim:

432 = b^2 \implies b = \sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12 \sqrt{3}

Adım 7 — Sonuç:

a = \sqrt{3}, b = 12 \sqrt{3} olduğuna göre,

a \times b = \sqrt{3} \times 12 \sqrt{3} = 12 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 12 \times 3 = 36.

CEVAP: A) 36

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

Sinav_Rehberi · Nisan 5, 2026, 1:49ös

39. a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere dik koordinat düzleminde y = -\sqrt{3},x ve y = a x + b doğruları ile x-ekseni arasında kalan bölge eşkenar üçgen biçimindedir. Bu eşkenar üçgenin alanı 36\sqrt{3} birimkaredir. Buna göre a \cdot b çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Eşkenar üçgen alanı: A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}
Eşkenar üçgen yüksekliği: h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}s

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Doğruların kesişim noktası

İki doğrunun kesişimi için:

-\sqrt{3}\,x = a x + b

-(\sqrt{3}+a)\,x = b

x = -\dfrac{b}{\sqrt{3}+a}

Kesişim noktasının y koordinatı:

y = -\sqrt{3}\,x

y = -\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{b}{\sqrt{3}+a}\right)

y = \dfrac{b\sqrt{3}}{\sqrt{3}+a}

Adım 2 — Üçgenin kenar uzunluğu ve yüksekliği

Taban noktaları x=0 ve x=-\dfrac{b}{a} olduğundan taban uzunluğu:

s = \dfrac{b}{a}

Eşkenar üçgenin yüksekliği:

h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}s

h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{b}{a}

Bu yükseklik kesişim noktasının y koordinatına eşittir:

\dfrac{b\sqrt{3}}{\sqrt{3}+a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{b}{a}

Her iki tarafı b\sqrt{3} ile sadeleştirelim:

\dfrac{1}{\sqrt{3}+a} = \dfrac{1}{2a}

Çapraz çarpma:

2a = \sqrt{3} + a

a = \sqrt{3}

Adım 3 — b değerinin bulunması (alan verisinden)

Taban uzunluğu s = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{\sqrt{3}}.

Eşkenar üçgen alan formülünü kullanalım:

A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}

A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{b}{\sqrt{3}}\right)^{2}

A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{b^{2}}{3}

A = \dfrac{\sqrt{3}\,b^{2}}{12}

Verilen A = 36\sqrt{3} olduğuna göre:

\dfrac{\sqrt{3}\,b^{2}}{12} = 36\sqrt{3}

Her iki tarafı \sqrt{3} ile sadeleştir:

\dfrac{b^{2}}{12} = 36

b^{2} = 432

b = \sqrt{432}

b = 12\sqrt{3}

Adım 4 — a \cdot b çarpımı

a\cdot b = \sqrt{3}\cdot 12\sqrt{3}

a\cdot b = 12\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})

a\cdot b = 12\cdot 3

a\cdot b = 36

CEVAP: 36

TEMEL KAVRAMLAR:

Eşkenar üçgen

Tanım: Üç kenarı eşit olan üçgen.
Bu problemde: Kenar uzunluğu taban ile x-ekseni arasındaki uzaklıktan elde edildi (s=\dfrac{b}{a}).

Doğruların kesişimi

Tanım: İki doğrunun ortak noktası.
Bu problemde: Kesişim noktasının y-değeri üçgenin yüksekliğini verdi.

SIK YAPILAN HATALAR:

Tabanın işareti unutulması

Yanlış: Taban uzunluğunu |-\dfrac{b}{a}| yerine -\dfrac{b}{a} almak ve işaret karıştırmak.
Doğru: Taban uzunluğu pozitif olarak s=\dfrac{b}{a} alınmalıdır.
Neden yanlış: Uzunluk negatif olamaz; işaretler konum tayininde kalır.
Düzeltme: Uzunluğu mutlak değer olarak alıp formüle yerleştirin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!