360 sayısı için;
I. 6 tane tek tam sayı böleni vardır.
III. 6’nın katı olan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12’dir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız II
B) Yalnız III
C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
Asal Çarpanlara Ayırma ve Tam Sayı Bölen Sayısı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir A doğal sayısı asal çarpanlarına A = a^x \cdot b^y \cdot c^z biçiminde ayrıldığında, pozitif bölen sayısı \text{PBS} = (x + 1)(y + 1)(z + 1) formülüyle; tam sayı bölen sayısı ise negatif bölenler de dahil edilerek \text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} formülüyle hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 360 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
360 sayısının asal çarpan dağılımı belirlenir:
360 = 36 \cdot 10 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
Adım 2 — I. Öncülün İncelenmesi
Tek bölenler bulunurken çift çarpan olan 2^3 devre dışı bırakılır. Kalan kısım 3^2 \cdot 5^1 ifadesidir:
\text{Pozitif Tek Bölen Sayısı} = (2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6
Soru kökünde yalnızca pozitif değil, tüm tam sayı bölenleri sorulduğu için negatif tek bölenler de hesaba katılır:
\text{Tek Tam Sayı Bölen Sayısı} = 2 \cdot 6 = 12
Bu nedenle I. öncül yanlıştır.
Adım 3 — II. Öncülün İncelenmesi
5’in katı olan bölenleri bulmak için 5 çarpanı parantez dışına alınır:
360 = 5 \cdot (2^3 \cdot 3^2)
Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı (3 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 olur. Tam sayı bölenleri sorulduğundan:
\text{5'in Katı Olan Tam Sayı Bölen Sayısı} = 2 \cdot 12 = 24
Bu nedenle II. öncül yanlıştır.
Adım 4 — III. Öncülün İncelenmesi
6’nın katı olan bölenleri bulmak için 6 = 2 \cdot 3 çarpanı parantez dışına alınır:
360 = 6 \cdot (2^{3-1} \cdot 3^{2-1} \cdot 5^1) = 6 \cdot (2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1)
Parantez içindeki sayının pozitif bölen sayısı hesaplanır:
\text{PBS} = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12
Bu nedenle III. öncül doğrudur.
CEVAP: B) Yalnız III
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sorularda “pozitif bölen” ile “tam sayı böleni” ifadelerine çok dikkat edilmelidir. “Tam sayı böleni” denildiğinde negatif bölenler de dahil edilerek pozitif bölen sayısı 2 ile çarpılmalıdır.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
- I. Yanlış: Tek tam sayı bölenleri sayısı 2 \cdot (2+1)(1+1) = 12’dir (negatifler de dahildir).
- II. Yanlış: 360 = 5 \cdot (2^3 \cdot 3^2) \rightarrow 5’in katı tam sayı bölenleri sayısı 2 \cdot (4 \cdot 3) = 24’tür.
- III. Doğru: 360 = 6 \cdot (2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1) \rightarrow 6’nın katı pozitif bölen sayısı (2+1)(1+1)(1+1) = 12’dir.
Doğru Cevap: B) Yalnız III
@Akademik_Rehber üslü sayıları nasıl şey yaptın anlamadım
Bir sayının pozitif bölen sayısını bulurken temel kural şudur: Asal çarpanların üslerine 1 ekleyip birbiriyle çarparız.
İşte adım adım mantığı:
1) 360’ı asal çarpanlarına ayırma:
- 360 = 36 \cdot 10
- 36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2
- 10 = 2 \cdot 5 = 2^1 \cdot 5^1
- Hepsini birleştirirsek: 2^{2+1} \cdot 3^2 \cdot 5^1 = \mathbf{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1} olur.
2) Üslerin kullanıldığı yerler:
-
I. Öncülde: Tek bölen istendiği için çift olan 2^3 tamamen atılır. Geriye 3^{\mathbf{2}} \cdot 5^{\mathbf{1}} kalır.
Üslere 1 ekleriz: ({\mathbf{2}}+1) \cdot ({\mathbf{1}}+1) = 3 \cdot 2 = 6 pozitif bölen. Tam sayı dediği için negatifleri de eklemek adına 2 ile çarptık: 2 \cdot 6 = 12. -
II. Öncülde: 5’in katı istendiği için bir tane 5’i dışarı aldık: 5 \cdot (2^{\mathbf{3}} \cdot 3^{\mathbf{2}}).
İçerideki üslere 1 ekleriz: ({\mathbf{3}}+1) \cdot ({\mathbf{2}}+1) = 4 \cdot 3 = 12 pozitif bölen. Tam sayı dediği için: 2 \cdot 12 = 24. -
III. Öncülde: 6’nın katı istendiği için 6 = 2 \cdot 3 çarpanını dışarı aldık:
2^3’ten bir tane 2 alınca 2^{\mathbf{2}} kaldı.
3^2’den bir tane 3 alınca 3^{\mathbf{1}} kaldı.
5’e dokunmadık, 5^{\mathbf{1}} kaldı.
İçerisi 6 \cdot (2^{\mathbf{2}} \cdot 3^{\mathbf{1}} \cdot 5^{\mathbf{1}}) oldu.
Üslere 1 ekleyip çarptık: ({\mathbf{2}}+1) \cdot ({\mathbf{1}}+1) \cdot ({\mathbf{1}}+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.
@Akademik_Rehber üslere neden bir ekledin
Üslere 1 eklememizin temel sebebi, o asal çarpanı “hiç kullanmama” (0. kuvvetini alma) seçeneğimizin de bulunmasıdır.
Bunu somut bir örnekle görelim:
Elinizde 2^3 çarpanı olsun. Oluşturacağınız bir bölenin içine 2 asal sayısını:
- Hiç koymayabilirsiniz: 2^0 = 1
- 1 tane koyabilirsiniz: 2^1 = 2
- 2 tane koyabilirsiniz: 2^2 = 4
- 3 tane koyabilirsiniz: 2^3 = 8
Gördüğünüz gibi, üs 3 olmasına rağmen seçebileceğiniz 4 farklı durum (0, 1, 2, 3) vardır.
İşte formüldeki o +1, sayının 0. kuvvetini (yani çarpanı hiç almama durumunu) hesaba kattığımız için eklenir. Her asal için bu durum sayıları birbiriyle çarpılarak toplam bölen sayısı bulunur.
@Akademik_Rehber kanka anlamadım detaylı tekrar anlat mala anlatır gibi
Şöyle düşün, en baştan ve en basit haliyle anlatıyorum:
Diyelim ki sayımız 12 olsun.
12’yi bölen sayıları kafadan sayalım:
1, 2, 3, 4, 6, 12 (Toplam 6 tane bölen var, değil mi?)
Şimdi bunu formülle bulurken ne yapıyoruz?
12’yi asal çarpanlarına ayırıyoruz:
12 = 2^2 \cdot 3^1
Buradaki olay tamamen bir “menüden malzeme seçme” oyunu!
Sen 12’nin bir bölenini oluşturmak için bir tabağa çarpan koyacaksın:
1. Masada 2 tane “2” var (2^2):
Tabağına bunlardan kaç tane koyabilirsin?
- Hiç koymayabilirsin (0 tane)
- 1 tane koyabilirsin
- 2 tane koyabilirsin
Cebinde 2 tane “2” var ama senin önünde 3 farklı seçenek var (0, 1 veya 2 tane almak).
İşte üs 2 iken seçeneğin 3 olmasının sebebi, “hiç almama” seçeneğidir! (2 + 1 = 3)
2. Masada 1 tane “3” var (3^1):
Tabağına bunlardan kaç tane koyabilirsin?
- Hiç koymayabilirsin (0 tane)
- 1 tane koyabilirsin
Cebinde 1 tane “3” var ama senin önünde 2 farklı seçenek var (0 veya 1 tane almak).
Yani yine 1 ekledik: (1 + 1 = 2)
Şimdi bunları eşleştirelim:
- 2’ler için 3 hakkın var.
- 3’ler için 2 hakkın var.
Toplam ihtimal: 3 \times 2 = \mathbf{6} tane!
Bak gerçekten de 12’nin bölenleri nasıl oluşuyor:
- 0 tane 2, 0 tane 3 alırsan \rightarrow 1 oluşur.
- 1 tane 2, 0 tane 3 alırsan \rightarrow 2 oluşur.
- 0 tane 2, 1 tane 3 alırsan \rightarrow 3 oluşur.
- 2 tane 2, 0 tane 3 alırsan \rightarrow 4 oluşur.
- 1 tane 2, 1 tane 3 alırsan \rightarrow 6 oluşur.
- 2 tane 2, 1 tane 3 alırsan \rightarrow 12 oluşur.
Özetle:
Üsse 1 eklememizin tek sebebi; “O sayıyı tabağıma hiç koymasam da olur” deme hakkımızdır. O hakka matematikte +1 diyoruz.
@Akademik_Rehber yine anlamadım
Tamam, her şeyi unut. Tek bir sayıya bakalım: 8 sayısı.
8 sayısını asal çarpan olarak yazarsan:
8 = 2^3
Burada üs kaç? 3.
Şimdi formülü falan boş ver. 8’i tam bölen sayıları parmaklarınla say:
- 1 (8’i böler)
- 2 (8’i böler)
- 4 (8’i böler)
- 8 (8’i böler)
Kaç tane sayı saydın? 4 tane.
İşte kilit nokta burası:
- Üs 3 idi.
- Ama bölen sayısı 4 çıktı!
Neden 3 değil de 4 çıktı biliyor musun?
Çünkü o bölenlerin en başında duran “1” sayısı yüzünden!
Eğer üsse 1 eklemeseydin, sadece şunları saymış olurdun:
2, 4, 8 (yani 3 tane)
Ama her sayıyı bölen bir de ne vardır? 1 sayısı.
İşte formüldeki o “+1”, her sayıyı mutlaka bölen o “1” sayısını unutmamak için eklenir.
- Üs 3 ise \rightarrow 3 tane sayı oradan gelir, 1 tane de “1” sayısının kendisi gelir \rightarrow Toplam 4 bölen olur (3 + 1 = 4).
@Akademik_Rehber simdi bana yukardakş soruyu dikkatli detaylı anlat düzgünce sade
Sıfırdan, tane tane ve en sade haliyle çözelim:
Adım 0: 360’ın Parçalarını Bulalım
Önce 360 sayısını asal çarpanlarına parçalayalım:
360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
Yani elimizdeki torbada şunlar var:
- 3 tane 2
- 2 tane 3
- 1 tane 5
I. Öncül: “6 tane tek tam sayı böleni vardır.”
Bir sayının tek olması için içinde kesinlikle 2 çarpanı olmamalıdır (çünkü 2 ile çarparsan sayı çift olur).
- Torbadaki bütün 2’leri çöpe atıyoruz. Geriye sadece tek sayılar kalıyor:3^{\mathbf{2}} \cdot 5^{\mathbf{1}}
- Şimdi pozitif bölen sayısını bulmak için üslere 1 ekleyip çarpıyoruz (“+1” kuralı):({\mathbf{2}} + 1) \cdot ({\mathbf{1}} + 1) = 3 \cdot 2 = 6 \text{ tane pozitif tek bölen}(Bunlar: 1, 3, 5, 9, 15, 45)
- Tuzağa dikkat: Soru “pozitif” dememiş, “tam sayı böleni” demiş. Tam sayılarda negatifler (eksiler) de vardır:
- 6 tane pozitif tek bölen (+1, +3...)
- 6 tane negatif tek bölen (-1, -3...)
- Toplam: 6 \cdot 2 = \mathbf{12\text{ tane}} tek tam sayı böleni vardır.
Öncül “6 tane” dediği için I. Öncül YANLIŞ.
II. Öncül: “5’in katı olan tam sayı bölenlerinin sayısı 10’dur.”
Bölenlerin 5’in katı olmasını istiyorsak, yapacağımız her sayının içinde mutlaka bir tane 5 olmak zorundadır.
- Torbadaki bir tane 5’i kenara ayırıp kilitliyoruz.
- Geriye torbada ne kaldı?2^{\mathbf{3}} \cdot 3^{\mathbf{2}}
- Kalan sayılarla kaç pozitif bölen yapabiliriz? Üslere 1 ekleyip çarpalım:({\mathbf{3}} + 1) \cdot ({\mathbf{2}} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \text{ tane pozitif}
- Yine “tam sayı böleni” dediği için negatifleri de ekliyoruz:12 \cdot 2 = \mathbf{24\text{ tane}}
Öncül “10’dur” dediği için II. Öncül YANLIŞ.
III. Öncül: “6’nın katı olan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12’dir.”
Bölenin 6’nın katı olması için içinde bir tane 2 ve bir tane 3 bulunmalıdır (2 \cdot 3 = 6).
- Torbadan bir tane 2 ve bir tane 3 alıp kenara ayırıyoruz.
- Torbada geriye ne kaldı?
- 2^3’ten bir tane 2 aldık \rightarrow 2^{\mathbf{2}} kaldı.
- 3^2’den bir tane 3 aldık \rightarrow 3^{\mathbf{1}} kaldı.
- 5^1’e hiç dokunmadık \rightarrow 5^{\mathbf{1}} kaldı.
- Kalan parçalar: 2^{\mathbf{2}} \cdot 3^{\mathbf{1}} \cdot 5^{\mathbf{1}}
- Üslere 1 ekleyip çarpıyoruz:({\mathbf{2}} + 1) \cdot ({\mathbf{1}} + 1) \cdot ({\mathbf{1}} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{12\text{ tane}}
- Bu sefer dikkat: Soru kökünde özellikle “pozitif” tam sayı böleni diyor. Yani negatifleri katmıyoruz, 2 ile çarpmıyoruz. Sonuç direkt 12’dir.
Öncül “12’dir” dediği için III. Öncül DOĞRU.
Sonuç
Yalnızca III doğru olduğu için:
Doğru Seçenek: B) Yalnız III