36 m ve 48 m uzunluğundaki iki tahta parçası uzunlukları en büyük olacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır.
Buna göre her bir tahta parçasının uzunluğu en fazla kaç m olur?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 36
36 m ve 48 m Uzunluğundaki Tahta Parçalarını Eşit ve En Büyük Parçalara Ayırma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL: \text{EBOB}(a, b) (En Büyük Ortak Bölen)
Büyük parçalardan eşit ve en büyük boyutlu küçük parçalar elde edilmek istendiğinde sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma
Verilen tahta uzunluklarını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazalım:
- 36 = 2^2 \times 3^2
- 48 = 2^4 \times 3^1
Adım 2 — Ortak Asal Çarpanları Belirleme ve EBOB Hesaplama
EBOB bulunurken ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar seçilip çarpılır:
\text{EBOB}(36, 48) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\text{ m}
Adım 3 — Parça Sayılarını Doğrulama
Her iki tahta da 12\text{ m}'lik parçalara artansız bölünür:
- 36\text{ m} \div 12\text{ m} = 3\text{ parça}
- 48\text{ m} \div 12\text{ m} = 4\text{ parça}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 12 m
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
- Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.
- Bu problemde: Tahtaların eşit ve mümkün olan en uzun boyutta kesilmesi istendiği için 36 ve 48’in en büyük ortak böleni olan 12\text{ m} alınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Parça Sayısı ile Parça Uzunluğunu Karıştırmak
- Yanlış: Soruda parça uzunluğu yerine toplam parça sayısını (3 + 4 = 7) hesaplayıp cevap aramak.
- Doğru: Sorunun bizden “bir parçanın uzunluğunu” mu yoksa “toplam parça sayısını/kesim sayısını” mı istediğine dikkat etmek.
- Neden yanlış: Parça uzunluğu doğrudan EBOB değeridir (12\text{ m}), parça sayısı ise uzunlukların EBOB’a bölümüdür.
Bu soruya benzer şekilde tahtaların toplam kaç kesim yapılarak ayrılacağını da hesaplamamı ister misin?