• 321b rakamları farklı dört basamaklı doğal sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, 46 basamaklı $ bababa 1.. ba doğal sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Bölünebilme Kuralları ve 11 ile Bölümünden Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamının 9’un katı, 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının 4’ün katı olması gerekir. 11 ile bölünebilme kuralında ise birler basamağından sola doğru sırasıyla +,-,+,-,\dots işaretleri verilip cebirsel toplamın 11’e göre kalanı incelenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — a Rakamının Belirlenmesi (9 ile Bölünebilme)
24a5 dört basamaklı sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9’un tam katı (9k) olmalıdır:
2 + 4 + a + 5 = 11 + a = 9k \implies a = 7
Adım 2 — b Rakamının Belirlenmesi (4 ile Bölünebilme)
321b sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu 1b sayısı 4’ün katı olmalıdır. Bu şartı sağlayan değerler 12 ve 16 olup b \in \{2, 6\} olur. Sayının rakamları farklı olduğundan ve 2 rakamı yüzler basamağında kullanıldığından b = 2 olamaz:
b = 6
Adım 3 — 46 Basamaklı Sayının 11 ile Bölümünden Kalanın Hesaplanması
Sayı 46 basamaklı bababa \dots ba şeklindedir ve tam 23 adet “ba” ikilisinden oluşur. Birler basamağından başlayarak +,-,+,-,\dots işaretlemesi yapıldığında her “ba” çiftinde a rakamına (+), b rakamına (-) işareti gelir:
\text{Toplam} = 23 \cdot (a - b)
Bulunan a = 7 ve b = 6 değerlerini yerine yazalım:
\text{Toplam} = 23 \cdot (7 - 6) = 23 \cdot 1 = 23
23 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım:
23 = 11 \cdot 2 + 1
CEVAP: B) 1 (Kalan = 1)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Rakamları farklı” ibaresi soruda en sık gözden kaçan çeldiricidir; b = 2 değeri elenmediğinde hatalı sonuca ulaşılır. Tekrarlı periyot içeren çok basamaklı sayılarda basamakları tek tek yazmak yerine ikili blokların net katkısını çarparak işlemi hızlandırabilirsiniz.