30 ile aralarında asal olan rakamların toplamı kaçtır?
30 ile Aralarında Asal Olan Rakamların Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki pozitif tam sayının 1’den başka pozitif ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır (\text{EBOB}(a, b) = 1).
1 sayısı, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Rakamlar Kümesini ve 30’un Asal Çarpanlarını Belirleme
Matematikte rakamlar kümesi 10 elemandan oluşur:
\text{Rakamlar} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
30 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
30 = 2 \times 3 \times 5
Bir rakamın 30 ile aralarında asal olabilmesi için 2, 3 veya 5 asal çarpanlarından hiçbirine bölünmemesi ve 0 olmaması gerekir.
Adım 2 — Rakamları Tek Tek İnceleme
- 0 \rightarrow \text{EBOB}(0, 30) = 30 \neq 1 (Aralarında asal değildir)
- 1 \rightarrow \text{EBOB}(1, 30) = 1 (30 ile aralarında asaldır
) - 2 \rightarrow 2’nin katıdır (Aralarında asal değildir
) - 3 \rightarrow 3’ün katıdır (Aralarında asal değildir )
- 4 \rightarrow 2’nin katıdır (Aralarında asal değildir )
- 5 \rightarrow 5’in katıdır (Aralarında asal değildir )
- 6 \rightarrow 2 ve 3’ün katıdır (Aralarında asal değildir )
- 7 \rightarrow 2, 3 veya 5’e bölünmez, \text{EBOB}(7, 30) = 1 (30 ile aralarında asaldır )
- 8 \rightarrow 2’nin katıdır (Aralarında asal değildir )
- 9 \rightarrow 3’ün katıdır (Aralarında asal değildir )
Şartı sağlayan rakamlar yalnızca 1 ve 7’dir.
Adım 3 — Değerleri Toplama
Bulunan rakamların toplamı:
1 + 7 = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asal Sayılar: İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğünün (1) olması durumudur. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; ortak bölenlerinin olmaması yeterlidir.
- 1 Sayısının Özelliği: 1 sayısı, kendisi hariç tüm pozitif tam sayılarla daima aralarında asaldır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: 1 sayısını asal sayı olmadığı gerekçesiyle dahil etmemek veya 9 sayısını tek sayı olduğu için aralarında asal kabul etmek.
- Doğru Yaklaşım: Aralarında asal olma durumu sayının asal olup olmadığına bakmaz; 1 sayısı 30 ile aralarında asaldır, 9 sayısı ise 3’e bölündüğü için 30 ile aralarında asal değildir.
Bu konuyu pekiştirmek için 42 sayısı ile aralarında asal olan rakamların toplamını da birlikte bulmak ister misin?