Verilen soru ve çözümü: 30.08.2025 tarihli Türkiye Geneli Tatbikat Sınavı
Soru, bir yardım derneğinin üye kayıt numaraları ve bu numaraların doğrulama kodlarına dayanarak gruptaki kişi sayısını bulmaya yöneliktir.
Soru Özeti:
- Dernek, her üyeye bir üye kayıt numarası verir.
- Üye kayıt numarasının son hanesi doğrulama kodudur.
- Bu doğrulama kodu, son haneden önce gelen rakamların toplamının 9’a bölümünden kalanına eşittir.
Örnek:
256 ncı üyenin kayıt numarası son hanesi 4 olan 256-4 şeklindedir.
Aynı gün n kişilik bir arkadaş grubu ardaşık olarak kayıt olmuştur.
Gruptan ilk üye kayıt numarası 3ab - 1, son üye kayıt numarası 4b1 - a olarak verilmiştir.
Burada a ve b rakamlarını kullanarak gruptaki kişi sayısını hesaplayacağız.
Çözüm Adımları
1. Kayıt Numaralarının Genel Yapısı
- 3ab - 1: Birinci kişinin kayıt numarasıdır. Burada 3, a ve b rakamlarıdır. Son hanesi “1” ve doğrulama kodu “-1” dir.
- 4b1 - a: Son kişinin kayıt numarasıdır. Burada “4”, b ve “1” rakamları; doğrulama kodu ise “a” dır.
2. Doğrulama Kodu Kuralları Tekrarı
Doğrulama kodu: Son haneden önce gelen rakamların toplamı 9’a bölündüğünde kalan kadar.
Örnek:
256 üye için kayıt numarası son hanesi 4 ve doğrulama kodu “4” olarak verilmiş. (Çünkü 2+5+6=13, 13 mod 9 = 4)
3. Kayıt numaraları için verilen ifadeleri yazalım
-
İlk kayıt numarası: 3ab - 1
-
“3ab” kısmı, 3 rakamı + a + b
-
Doğrulama kodu: Son hane 1 olduğuna göre doğrulama kodu 1
-
Önce gelen rakamlar toplamının 9’a bölümünden kalan 1 olmalı:
3 + a + b \equiv 1\ (\mod 9)
-
-
Son kayıt numarası: 4b1 - a
-
İlk üç rakam: 4 + b + 1
-
Doğrulama kodu: son hanedeki a
-
Önce gelen rakamlar toplamının 9’a bölümünden kalan a olmalı:
4 + b + 1 = 5 + b \equiv a \ (\mod 9)
-
4. Matematiksel Denklemler
-
Birinci kişi için:
3 + a + b \equiv 1 \mod 9 \implies
a + b \equiv 1 - 3 \mod 9 \implies
a + b \equiv -2 \mod 9 \equiv 7 \mod 9
(Çünkü -2 + 9 = 7) -
Son kişi için:
5 + b \equiv a \mod 9
5. Bu denklemleri çözelim
-
İlk denklem:
a + b \equiv 7 \mod 9 (1) -
İkinci denklem:
a \equiv 5 + b \mod 9 (2)
(2)'yi (1)'e yerine koyalım:
a + b \equiv 7
(5 + b) + b = 7 \mod 9
5 + 2b \equiv 7 \mod 9
2b \equiv 7 - 5 = 2 \mod 9
6. 2b \equiv 2 \mod 9 denklemini çözelim:
Bu halde:
2b \equiv 2 \mod 9
Her iki tarafı 2’nin mod 9’daki tersi ile çarparız.
9 modunda 2’nin tersi:
2 * 5 = 10 ≡ 1 mod 9 (Çünkü 10 mod 9 = 1)
Yani, 5 mod 9, 2’nin tersi.
Bu yüzden:
b \equiv 2 * 5 = 10 \equiv 1 \mod 9
Demek ki,
b \equiv 1 (mod 9)
b = 1 (En küçük değer)
7. b = 1 değerini kullanarak a’yı bulalım:
a \equiv 5 + b \equiv 5 + 1 = 6 \mod 9
Yani:
a = 6
8. Başlangıç ve bitiş numaralarının belirlenmesi
- İlk kişi: 3ab - 1
a=6, b=1
→ 3 6 1 - 1 → Üye numarası 361 - 1
- Son kişi: 4b1 - a
b=1, a=6
→ 4 1 1 - 6 → Üye numarası 411 - 6
9. Sıra numaralarına bakalım
Son üye ile ilk üye arasındaki sıra farkı:
411 - 361 = 50 üye arasındaki farkı gösterir.
Başlangıç üyesi dahil olduğundan kişi sayısı:
50 + 1 = 51
Sonuç:
Grup içindeki kişi sayısı 51’dir.
Özet Tablo
| Değişken | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| a | 6 | İlk ve son üye doğrulama kodunu bulmak için çözüldü |
| b | 1 | Yukarıdaki sistemle bulunuyor |
| İlk üye numarası | 361-1 | İzleme için kayıt numarası |
| Son üye numarası | 411-6 | İzleme için kayıt numarası |
| Kişi sayısı | 51 | Son - İlk + 1 hesaplandı |