3 y= (fog)x+3) y= (gof)(2x+1) X E)

Sultan_Agir · Ekim 9, 2026, 4:44ös

Gerçel sayilar kümesi üzerinde tanımlı f ve g
fonksiyonlar için (fog) (x + 3) ve (gof) (2x+1)
fonksiyonlarınin grafikleri dik koordinat düzleminde
verilimiştir.
-1
g(x) =4x olduğuna göre
A) 2
4-f(-1) + 21(7)
f(8) - f(24)
ifadesinin değeri kaçtır?
3
y= (fog)x+3)
y= (gof)(2x+1)
B) C) D)3
X
E)

Akademik_Rehber · Ekim 9, 2026, 4:44ös

Bileşke Fonksiyon Grafikleri ve Değer Hesabı

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Bileşke fonksiyon tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x))
Grafikte verilen x apsisli noktanın fonksiyon denkleminde yerine yazılması ile ordinat (y) değerine ulaşılır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikten (f \circ g)(x+3) Fonksiyonunun Değerlerini Bulma
Grafikte kırmızı/pembe eğri y = (f \circ g)(x+3) fonksiyonunu temsil etmektedir:

x = -1 noktasında tepe değeri y = 2’dir:

(f \circ g)(-1 + 3) = (f \circ g)(2) = 2

g(x) = 4x olduğundan, g(2) = 4 \cdot 2 = 8 olur. Buradan:

f(g(2)) = f(8) = 2
x = 3 noktasında çukur değeri y = 1’dir:

(f \circ g)(3 + 3) = (f \circ g)(6) = 1

g(6) = 4 \cdot 6 = 24 olduğundan:

f(g(6)) = f(24) = 1

Adım 2 — Grafikten (g \circ f)(2x+1) Fonksiyonunun Değerlerini Bulma
Grafikte mavi eğri y = (g \circ f)(2x+1) fonksiyonunu temsil etmektedir:

x = -1 noktasında çukur değeri y = 1’dir:

(g \circ f)(2(-1) + 1) = (g \circ f)(-1) = 1

g(x) = 4x kuralından dolayı g(f(-1)) = 4 \cdot f(-1) olur:

4 \cdot f(-1) = 1
x = 3 noktasında tepe değeri y = 2’dir:

(g \circ f)(2(3) + 1) = (g \circ f)(7) = 2

Benzer şekilde g(f(7)) = 4 \cdot f(7) = 2 olur:

4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1

Adım 3 — İstenen İfadede Değerleri Yerine Yazma
İstenen kesirli ifade:

\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)}

Bulunan değerleri yerine yazalım:

\text{Pay} = 4 \cdot f(-1) + 2f(7) = 1 + 1 = 2

\text{Payda} = f(8) - f(24) = 2 - 1 = 1

\frac{2}{1} = 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

Bileşke Fonksiyon: Bir fonksiyonun çıktısının diğer fonksiyonun girdisi olması durumudur. g(x) = 4x gibi doğrusal fonksiyonlarda katsayı dönüşümleri doğrudan eşitliğe yansır.

SIK YAPILAN HATALAR:

Hatalı Yaklaşım: Grafikten okunan x değerlerini doğrudan f(x) veya g(x)'in içine yazmak (Örn: f(-1) = 1 sanmak).
Doğru Yaklaşım: Grafikte verilen kuralın içine x değerini yazıp içteki girdiyi (x+3 ve 2x+1) öncelikle hesaplamak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

Sultan_Agir · Ekim 9, 2026, 5:00ös

@sorumatik_ai direkt x yerine -1 yazayım oradan f-24’ü bulayım hesabı biraz çok zor bunun mantığını anlatır mısın

Akademik_Rehber · Ekim 9, 2026, 5:00ös

Grafik Okuma ve İç İçe Fonksiyon Mantığı

Grafiğe bakıp “Ben f(24)'ü nasıl bulacağım, grafikte 24 sayısı bile yok!” diye düşünmen çok doğal. İşin püf noktası; grafikteki eksenin x ekseni olması, bizden istenen sayıların ise x değil, fonksiyonun en içindeki değerler olmasıdır.

Mantığı 3 temel kural ile kavrayalım:

1. Grafikteki Sayılar Doğrudan x’tir

Grafikte işaretlenmiş olan -1 ve 3 sayıları doğrudan x ekseni üzerindedir. Yani soru yazarı bize açıkça şunu söyler:

“Sana denklemde x gördüğün yere yazabileceğin sadece iki tane ipucu verdim: x = -1 ve x = 3.”

Bu yüzden grafikte olmayan 8, 24 veya 7 gibi sayıları aramak yerine; elimizdeki tek anahtarlar olan x = -1 ve x = 3 değerlerini verilen fonksiyon kalıplarına yazarız.

2. f(24) Sayısı Nereden Ortaya Çıktı?

Kırmızı eğrinin kuralı:

y = (f \circ g)(x+3) = f(g(x+3))

Grafikte x = 3 apsisli noktada kırmızı eğrinin y değeri 1’dir. Bu bilgiyi kurala harfiyen uygulayalım:

x yerine 3 yaz: x + 3 = 3 + 3 = 6
Fonksiyonun içi: f(g(6)) oldu.
Soruda g(x) = 4x olarak tanımlanmış (yani g, içine giren sayıyı 4 ile çarpar).
g(6) = 4 \cdot 6 = 24 olur!
Dolayısıyla ifade kendiliğinden f(24)'e dönüştü:
f(24) = 1

Gördüğün gibi 24 sayısını biz uydurmadık; grafikteki küçük bir x = 3 değeri, fonksiyonun içindeki işlemlerden geçerek domino taşı gibi 24’ü kendisi üretti.

3. 4 \cdot f(-1) Nasıl Doğrudan Çıktı?

Mavi eğrinin kuralı:

y = (g \circ f)(2x+1) = g(f(2x+1))

Grafikte x = -1 apsisli noktada mavi eğrinin y değeri 1’dir:

x yerine -1 yaz: 2(-1) + 1 = -1
Fonksiyonun içi: g(f(-1)) oldu.
g fonksiyonu içine ne alırsa 4 katına çıkardığı için:
g(f(-1)) = 4 \cdot f(-1)
Grafikten bu noktanın y değerinin 1 olduğunu bildiğimiz için:
4 \cdot f(-1) = 1

Dikkat edersen burada tek başına f(-1)'in kaç olduğunu bulmakla hiç uğraşmadık; soru kökünde zaten 4 \cdot f(-1) sorulduğu için blok halinde cevabı elde etmiş olduk.

Özet Mantık Formülü:

Soruda verilen büyük/farklı sayılara takılma.
Grafikte hangi x noktaları belirginse (burada -1 ve 3), denklemdeki x yerine SADECE onları yaz.
Matematiksel kural zaten sorunun senden istediği sayıları kendiliğinden önüne serecektir.

Bu mantığı pekiştirmek için benzer bir grafik okuma sorusuyla pratik yapmak ister misin?

Sultan_Agir · Ekim 9, 2026, 5:19ös

@sorumatik_ai F7 ile f8’i falan bulur musun Bir de bunları yaparken biraz daha mantık yürüterek değil mi şu şekilde yani Mesela f24’ün pembe çizgi ile değil de mavi çizgi ile bulunacağını falan bulunmayacağını falan tahmin etmemiz gerekiyor değil mi

Akademik_Rehber · Ekim 9, 2026, 5:19ös

Hangi Çizgiyi Neden Seçiyoruz? (Stratejik Mantık)

Tam olarak düşündüğün gibi! Bu sorularda rastgele deneme yapılmaz; hangi fonksiyonun hangi sayıyı üreteceği en baştan kurala bakılarak tahmin edilir (tayin edilir).

Soru kökünde bizden istenen 4 tane parça var:

f(8) ve f(24)
f(-1) ve f(7)

Şimdi iki fonksiyonun cebirsel yapısına bakıp “görev dağılımı” yapalım:

1. Kırmızı/Pembe Çizgi Neden f(8) ve f(24) İçin Seçilmeli?

Kırmızı fonksiyonun kalıbı:

y = (f \circ g)(x+3) = f\big(g(x+3)\big)

Burada g(x) = 4x olduğuna göre, içine giren ifadeyi 4 ile çarpacaktır:

g(x+3) = 4(x+3)

Dolayısıyla bu eğrinin denklemi aslında doğrudan şudur:

y = f\big(4(x+3)\big)

Dikkat et: f’in içi 4 \cdot (\text{parantez}) şeklinde büyüyor!
Grafikteki x değerlerimiz sadece -1 ve 3 olduğuna göre:

x = -1 koyarsak: 4(-1 + 3) = 4 \cdot 2 = \mathbf{8} \implies f(8) üretilir.
x = 3 koyarsak: 4(3 + 3) = 4 \cdot 6 = \mathbf{24} \implies f(24) üretilir.

Gördüğün gibi, büyük sayılar olan 8 ve 24, yapısı gereği kesinlikle kırmızı eğriden gelmek zorundadır.

f(8) Değerinin Hesabı:

Grafikte kırmızı eğriye bakıyoruz:

x = -1 noktasında kırmızı eğrinin tepe noktası y = 2’dir.
Fonksiyonda yerine yazalım:
(f \circ g)(-1 + 3) = 2

f(g(2)) = 2

g(2) = 4 \cdot 2 = 8 \implies \mathbf{f(8) = 2}

2. Mavi Çizgi Neden f(-1) ve f(7) İçin Seçilmeli?

Mavi fonksiyonun kalıbı:

y = (g \circ f)(2x+1) = g\big(f(2x+1)\big)

Burada f en içtedir. g(x) = 4x fonksiyonu ise dışarıdan her şeyi 4 ile çarpar:

y = 4 \cdot f(2x+1)

Burada f’in içindeki ifade 2x+1’dir. Grafikteki x değerlerini yerine koyarsak:

x = -1 koyarsak: 2(-1) + 1 = \mathbf{-1} \implies f(-1) üretilir.
x = 3 koyarsak: 2(3) + 1 = \mathbf{7} \implies f(7) üretilir.

Demek ki f(7) ve f(-1) de kesinlikle mavi eğriden gelmek zorundadır.

f(7) Değerinin Hesabı:

Grafikte mavi eğriye bakıyoruz:

x = 3 noktasında mavi eğrinin tepe noktası y = 2’dir.
Fonksiyonda yerine yazalım:
(g \circ f)(2(3) + 1) = 2

(g \circ f)(7) = 2

g(f(7)) = 2
g(x) = 4x olduğu için:
4 \cdot f(7) = 2 \implies f(7) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

İstenen ifadede 2 \cdot f(7) sorulduğu için:

2 \cdot f(7) = 2 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}

Özet Strateji:

İçerideki fonksiyona bak: f içeride mi, dışarıda mı?
Katsayılara bak: 4(x+3) ifadesi sayıları büyüttüğü için 8 ve 24’ü verir; 2x+1 ifadesi ise -1 ve 7’yi verir.
Bu eşleştirmeyi baştan zihninde kurduğun an soru saniyeler içinde çözülür.

Fonksiyon grafiklerinde öteleme ve bileşke ilişkisiyle ilgili başka bir soru tipi üzerinde bu mantığı uygulamak ister misin?

Sultan_Agir · Ekim 9, 2026, 5:25ös

Akademik_Rehber:

Hangi Çizgiyi Neden Seçiyoruz? (Stratejik Mantık)

Tam olarak düşündüğün gibi! Bu sorularda rastgele deneme yapılmaz; hangi fonksiyonun hangi sayıyı üreteceği en baştan kurala bakılarak tahmin edilir (tayin edilir).

Soru kökünde bizden istenen 4 tane parça var:

f(8) ve f(24)

f(-1) ve f(7)

Şimdi iki fonksiyonun cebirsel yapısına bakıp “görev dağılımı” yapalım:

1. Kırmızı/Pembe Çizgi Neden f(8) ve f(24) İçin Seçilmeli?

Kırmızı fonksiyonun kalıbı:

y = (f \circ g)(x+3) = f\big(g(x+3)\big)

Burada g(x) = 4x olduğuna göre, içine giren ifadeyi 4 ile çarpacaktır:

g(x+3) = 4(x+3)

Dolayısıyla bu eğrinin denklemi aslında doğrudan şudur:

y = f\big(4(x+3)\big)

Dikkat et: f’in içi 4 \cdot (\text{parantez}) şeklinde büyüyor!
Grafikteki x değerlerimiz sadece -1 ve 3 olduğuna göre:

x = -1 koyarsak: 4(-1 + 3) = 4 \cdot 2 = \mathbf{8} \implies f(8) üretilir.

x = 3 koyarsak: 4(3 + 3) = 4 \cdot 6 = \mathbf{24} \implies f(24) üretilir.

Gördüğün gibi, büyük sayılar olan 8 ve 24, yapısı gereği kesinlikle kırmızı eğriden gelmek zorundadır.

f(8) Değerinin Hesabı:

Grafikte kırmızı eğriye bakıyoruz:

x = -1 noktasında kırmızı eğrinin tepe noktası y = 2’dir.

Fonksiyonda yerine yazalım:
(f \circ g)(-1 + 3) = 2

f(g(2)) = 2

g(2) = 4 \cdot 2 = 8 \implies \mathbf{f(8) = 2}

2. Mavi Çizgi Neden f(-1) ve f(7) İçin Seçilmeli?

Mavi fonksiyonun kalıbı:

y = (g \circ f)(2x+1) = g\big(f(2x+1)\big)

Burada f en içtedir. g(x) = 4x fonksiyonu ise dışarıdan her şeyi 4 ile çarpar:

y = 4 \cdot f(2x+1)

Burada f’in içindeki ifade 2x+1’dir. Grafikteki x değerlerini yerine koyarsak:

x = -1 koyarsak: 2(-1) + 1 = \mathbf{-1} \implies f(-1) üretilir.

x = 3 koyarsak: 2(3) + 1 = \mathbf{7} \implies f(7) üretilir.

Demek ki f(7) ve f(-1) de kesinlikle mavi eğriden gelmek zorundadır.

f(7) Değerinin Hesabı:

Grafikte mavi eğriye bakıyoruz:

x = 3 noktasında mavi eğrinin tepe noktası y = 2’dir.

Fonksiyonda yerine yazalım:
(g \circ f)(2(3) + 1) = 2

(g \circ f)(7) = 2

g(f(7)) = 2

g(x) = 4x olduğu için:
4 \cdot f(7) = 2 \implies f(7) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

İstenen ifadede 2 \cdot f(7) sorulduğu için:

2 \cdot f(7) = 2 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}

Özet Strateji:

İçerideki fonksiyona bak: f içeride mi, dışarıda mı?
2…

@Akademik_Rehber yani mantık şu za iki tane fonksiyonumuz var ve x’lerde tanımlı olarak -1 ve 3 var sadece yani soruda da zaten 4 tane değer çıktığı için mecburen ikişer ikişer çarpıyoruz değil mi

Akademik_Rehber · Ekim 9, 2026, 5:25ös

Aynen öyle, harika bir çıkarım! Mantığın tam merkezini yakaladın.

Durum tam olarak şudur:

Grafikteki Bilgi Sayısı:
Soru yazarı grafiğe sadece 2 tane x apsisi (yani x = -1 ve x = 3) ve 2 tane grafik çizgisi yerleştirmiş.

\text{2 nokta} \times \text{2 fonksiyon} = \mathbf{4 \text{ farklı bilgi}}
Sorulan İfade:
Soru kökünde senden tam olarak 4 tane değer istiyor:
- f(-1)
- f(7)
- f(8)
- f(24)
Zorunlu Eşleşme:
Ortada başka hiçbir x değeri veya veri olmadığı için, bu 4 değerin mecburen her biri, grafikteki 2 \times 2 = 4 durumun birinden gelmek zorundadır:
- Kırmızı çizgiye -1 ver \rightarrow 1. değer (f(8))
- Kırmızı çizgiye 3 ver \rightarrow 2. değer (f(24))
- Mavi çizgiye -1 ver \rightarrow 3. değer (f(-1))
- Mavi çizgiye 3 ver \rightarrow 4. değer (f(7))

Yani soruda hiçbir tesadüf veya fazladan işlem yok; puzzle’ın 4 parçası var ve o 4 parça da doğrudan grafikteki bu ikili eşleşmelerden çıkıyor. Sınavda bu tarz bir soru gördüğünde yapman gereken tek şey, verilen x apsislerini iki fonksiyonda da sırayla yerine yazıp çıkan değerleri soru köküyle eşleştirmektir.

Bu soru kalıbının mantığı kafana tam olarak oturdu mu, başka bir detay var mı aklına takılan?