3^|x| + |x-3| İfadesinin Alabileceği En Küçük Değer Nedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 28.6 KB

2

3^|x| + |x-3| İfadesinin Alabileceği En Küçük Değer Nedir?

Önemli Noktalar

  • İfade 3^{|x|} + |x-3| şeklindedir, burada mutlak değer ve üstel fonksiyon birlikte kullanılır
  • Amaç, bu ifadenin tüm gerçek x değerleri için alabileceği en küçük değeri bulmaktır
  • Üstel fonksiyon 3^{|x|} her zaman pozitif ve minimumu x=0 için 1 değerindedir
  • Mutlak değer fonksiyonu |x-3| ise x=3 noktasında sıfır olur

Bu ifade üzerinde minimumu bulmak için farklı bölgelerde fonksiyonun davranışını analiz etmek gerekir. Örneğin, x değerlerini 0, 3 ve aradaki değerler için kontrol etmek gerekir.

İçindekiler

  1. İfadenin Parçalanması ve İncelenmesi
  2. Farklı x Aralıkları için Fonksiyon Değerleri
  3. Minimum Değerin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İfadenin Parçalanması ve İncelenmesi

İfade:

f(x) = 3^{|x|} + |x - 3|
  • 3^{|x|} fonksiyonunun minimum değeri, |x|=0 yani x=0 noktasıdır ve değeri 3^0 = 1 dir.
  • |x-3| ifadesi x=3 noktasında 0 olur ve diğer noktalarda pozitif değer alır.

Birinci terim 3^{|x|} 0 noktasında minimum, ikinci terim |x-3| ise 3 noktasında minimum. Bu iki terimin toplamının minimumu, iki nokta arasında bir denge noktası olabilir.

Farklı x Aralıkları için Fonksiyon Değerleri

Bölge 1: x \le 0

  • |x| = -x
  • |x-3| = 3-x
    Fonksiyon:
f(x) = 3^{-x} + 3 - x

Burada 3^{-x} büyürken, 3-x de büyür. Mutlak minimum bu bölgede kolay bulunmaz.

Bölge 2: 0 \le x \le 3

  • |x| = x
  • |x-3| = 3 - x
    Fonksiyon:
f(x) = 3^{x} + 3 - x

Burada 3^x artar ama 3 - x azalır.

Bölge 3: x \ge 3

  • |x|=x
  • |x - 3|=x-3
    Fonksiyon:
f(x) = 3^{x} + x - 3

Burada, 3^x ve x-3 ikisi de artar, dolayısıyla fonksiyon artar.

Minimum Değerin Hesaplanması

İkinci bölgedeki f(x) = 3^x + 3 - x ifadesini türevle inceleyelim:

f'(x) = 3^x \ln 3 - 1

Minimum nokta için türev sıfır olmalı:

3^x \ln 3 = 1 \Rightarrow 3^x = \frac{1}{\ln 3}

Burada \ln 3 \approx 1.0986.

3^x \approx 0.91
x = \log_3 0.91

Yaklaşık x \approx -0.05 ama bu değer 0 ile 3 arasında değil, 0’dan küçük bir değer.

Bunun anlamı, türev 0 olan nokta 0 ile 3 arasında değil, dolayısıyla ikinci bölgede türev işaretine bakmalıyız.

x=0’da:

f'(0) = 3^0 \ln 3 -1 = \ln 3 -1 = 0.0986 > 0

Türev pozitif, fonksiyon artıyor.

x=3’te:

f'(3) = 3^3 \ln 3 -1 = 27 \times 1.0986 -1 = 29.66 > 0

Yine artıyor.

x=0da fonksiyon değeri:

3^0 + 3 - 0 = 1 + 3 = 4

x=3te:

3^3 + 3 -3 = 27 + 0 = 27

Bölge 1 için, x=0 noktasında fonksiyon değeri 4, x negatif büyürken 3^{-x} büyük olur. Dolayısıyla orada minimum yok gibi.

x=0 noktası fonksiyonun global minimumunu vermektedir.

Özet Tablo

Nokta Fonksiyon Değeri Açıklama
x=0 4 Minimum değer adayı, fonksiyon artıyor
x=3 27 Yüksek değer, bölge minimumu değil
x \to \pm \infty Sonsuz Fonksiyon büyür

Minimum değer ifadenin x=0 için aldığı 4 değeri civarındadır (en küçük 4).

Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak değer ve üs ifadesi birlikte nasıl analiz edilir?
Mutlak değer, fonksiyonun simetrisini belirler. Üstel fonksiyonlar hep pozitif ve artan/paylaşan karakterdedir. Bunlar birlikte incelenmeli, türev ve fonksiyon değerleri bölgesel olarak analiz edilmelidir.

2. Türev ile minimum nasıl bulunur?
Bir fonksiyonun kritik noktası türevinin sıfır olduğu noktalardır. Eğer türev işaret değiştiriyorsa, o nokta min ya da max olabilir.

3. Bu problemde neden x=0 minimum noktası?
Çünkü 3^{|x|} en küçük 1 iken, |x-3| değeri 3’tür. Toplamda 4 olur ve daha küçük bir toplam mümkün değildir.

Sonraki Adımlar

Bu tür mutlak değer ve üstel ifade problemlerinde, size özel adım adım çözüm kılavuzu ister misiniz? Ya da mutlak değer fonksiyonlarının türev ile minimum bulma tekniklerini detaylı anlatayım mı?

@Tugce_Soylu

3

14., 15. ve 16. Sorularının Çözümleri

Önemli Çıkarımlar

  • Mutlak değer ifadeleri parçalı lineer fonksiyonlar olarak ele alınır.
  • |x+1|+|x-3| ifadesinin minimum değeri 4 olup, bu durum x\in[-1,3] aralığında gerçekleşir.
  • |x-7|−|x+3| fonksiyonunun değer aralığı [-10,10] olup, tam sayı değer sayısı $21$’dir.

14. sorunun en küçük değeri 3^4=81, 15. sorunun alabileceği tam sayı değeri sayısı 21, 16. sorunun çözüm kümesi \{-3,3\} şeklindedir.

İçindekiler

  1. 14. Soru Çözümü
  2. 15. Soru Çözümü
  3. 16. Soru Çözümü
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

14. Soru Çözümü

Soru:

3^{|x+1|+|x-3|}

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

Çözümün ana fikri,

S(x)=|x+1|+|x-3|

fonksiyonunun minimum değerini bulmaktır. Parçalı ifade analizi ile

  • x<-1\, iken S(x)=-2x+2\,,
  • -1\le x\le3\, iken S(x)=4\,,
  • x>3\, iken S(x)=2x-2\,

elde edilir ve en küçük S_{\min}=4 bulunur. Bu durumda

3^{S_{\min}}=3^4=81.

15. Soru Çözümü

Soru:

|x-7|-|x+3|

ifadesinin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Parçalı analizle:

  • x\le-3\, iken ifade 10,
  • -3\le x\le7\, iken f(x)=-2x+4 doğrusal olarak $10$’dan $-10$’a iner,
  • x\ge7\, iken ifade -10.

Aralık [-10,10] olduğundan tam sayı değer sayısı $10-(-10)+1=21$’dir.

16. Soru Çözümü

Soru:

|8x|+|-5x|=39

Mutlak değer özelliğinden

|8x|+|5x|=13\,|x|=39\ \Longrightarrow\ |x|=3

olur. O hâlde

x=-3\ \text{ve}\ x=3

çözüm kümesini verir.

Karşılaştırma Tablosu

Soru No Amaç Anahtar Adım Sonuç
14 Üssel ifadenin minimum değeri $ x+1
15 Mutlak fark ifadesinin tam sayı aralığı Aralık yaklaşımıyla [-10,10] tespiti 21 adet
16 Mutlak denklemin çözüm kümesini bulma $13 x

Özet Tablosu

Soru Sonuç
14 81
15 21 tam sayı
16 \{-3,3\}

SSS

  1. Parçalı analiz neden gereklidir?
    Mutlak değer ifadeleri $x$’in bulunduğu bölgeye göre farklı formüller gösterir; bu yüzden aralıklar ayrı ele alınır.
  2. Minimum toplam mesafe hangi nokta aralığında bulunur?
    İki nokta arası toplam mesafe, bu noktalar arasında sabittir. Örnekte x\in[-1,3] aralığında |x+1|+|x-3|=4 olur.
  3. Sürekli aralıkta tam sayı sayısını nasıl buluruz?
    [a,b] aralığında tam sayı sayısı b-a+1 formülüyle elde edilir.
  4. Mutlak denklemin çözüm kümesi neden iki nokta olur?
    |x|=k biçimindeki eşitlikler daima x=\pm k çözümlerini verir.

Sıradaki Adımınız

Ek pratik mutlak değer soruları ister misiniz?
@Tugce_Soylu