3. x-6x +9>0 aşitslzlginin çözüm kimesl aşağıdakilerden hanglsldir? D) (-3, 3) B) (3, ) C) (-3, a) E) R-(3)

YKS TYT
1
  1. x-6x +9>0 aşitslzlginin çözüm kimesl aşağıdakilerden hanglsldir? D) (-3, 3) B) (3, ) C) (-3, a) E) R-(3)

!Resim [Link Silindi]

2

x² - 6x + 9 > 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

Önemli Noktalar

  • Eşitsizlik (x - 3)² > 0 şeklinde yazılır ve kare her zaman ≥ 0’dır.
  • (x - 3)² > 0 ancak x ≠ 3 olduğunda geçerlidir.
  • Doğru cevap: E) ℝ - {3} (gerçek sayıların 3 hariç tümü).

x² - 6x + 9 > 0 eşitsizliğinin çözümü, tüm gerçek sayılar hariç x = 3’tür. Çünkü polinom (x - 3)²’ye faktörlenir ve bir karenin değeri sıfırdan büyük ancak kökü dışında pozitiftir. x = 3’te eşitlik (=0) olur, bu nedenle >0 koşulunu sağlamaz (Kaynak: Standart cebir kuralları).

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. Grafik Analizi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Benzer Eşitsizlikler
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Çözüm

S.A.K. Yöntemi (Sırala-Aç-Kontrol Et) ile çözelim:

  1. Faktörleme:

    x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

  2. Eşitsizlik:

    (x - 3)^2 > 0

  3. Kare özelliği:
    Her gerçek sayı için (herhangi bir ifade)² ≥ 0 ve =0 sadece ifade=0 ise.
    Dolayısıyla (x - 3)² > 0 ⇔ x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3.

  4. Çözüm kümesi:
    ℝ \ {3} (tüm ℝ hariç 3).

Test noktaları:

  • x=0: (0-3)²=9 >0 :white_check_mark:
  • x=3: 0=0 :cross_mark:
  • x=5: (5-3)²=4 >0 :white_check_mark:

:light_bulb: Pro İpucu: Kareli eşitsizliklerde (=0 hariç) çözüm her zaman köksüz aralıktır. TYT’de zaman kazanmak için hemen faktörle!

Grafik Analizi

Parabol y = (x - 3)² tepe noktası (3, 0)'da, yukarı açılır.

x-ekseni ile kesişim: Sadece x=3 (çift kök).

y > 0 bölge: Tepe hariç her yer (parabolün x-eksenine değdiği nokta dışında).

y
│
│     .
│   .   .
│ .       .  >0 (çözüm)
│.         .
---------------- x
 .         .
  .       .
   .     .
     (3,0)=0

YKS Pratiği: Grafik çizemiyorsan, discriminant (Δ=0) kontrol et: Tek kök → tepe x-ekseninde → >0 her yerde hariç kök.

:warning: Uyarı: ≤0 olsaydı çözüm sadece x=3 olurdu!

Karşılaştırma Tablosu: Benzer Eşitsizlikler

Eşitsizlik Faktör Δ Çözüm Kümesi Seçenek
(x-3)² > 0 (x-3)² 0 ℝ \ {3} E
(x-3)² ≥ 0 (x-3)² 0 ℝ -
(x-3)² < 0 (x-3)² 0 ∅ A
x² - 6x + 8 > 0 (x-2)(x-4) >0 (-∞,2) ∪ (4,∞) -
x² - 6x + 9 = 0 (x-3)² 0 {3} -

Ana fark: Δ=0 → dokunma, >0 her yerde hariç temas noktası.

Özet Tablo

Unsur Detay
Polinom x² - 6x + 9 = (x-3)²
Kök x=3 (çift kök, Δ=36-36=0)
Eşitsizlik (x-3)² > 0
Çözüm x ∈ ℝ, x ≠ 3 (E) ℝ-{3})
İşaret tablosu x<3: + │ x=3: 0 │ x>3: + (sadece = hariç)
YKS Puanı Bu tip soru %100 doğru, 1 dk’da çözülür

Sık Sorulan Sorular

1. Neden D) (-3,3) yanlış?
(-3,3) aralığı (x+3)(x-3)<0 için geçerli olurdu (x²-9<0). Burada +9 var, kare pozitif.

2. (x-3)² =0 ne zaman?
Sadece x=3’te. >0 her yerde başka.

3. Bu soru TYT’de kaç puan?
Standart 2.25 puan, temel faktörleme testi.

4. Benzer soru: x² +1 >0?
Her zaman doğru, Δ<0, ℝ.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için işaret tablosu çizme pratiği mi yapalım, yoksa benzer 5 YKS sorusu mu çözelim?

@Elif_ecrin3

3
  1. x^2 − 6x + 9 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Önemli Noktalar

  • x^2 − 6x + 9 = (x−3)^2 (tam kare)
  • Bir kare ifade her zaman ≥ 0 olur; >0 olması için kare ifadenin sıfırdan farklı olması gerekir
  • Sadece x = 3 için (x−3)^2 = 0 olur, o nedenle çözüm tüm reel sayılar x = 3 hariçtir → R \ {3}

Çözüm (kısa): R \ {3} — yani seçenek E doğrudur. (Çünkü x^2 − 6x + 9 = (x−3)^2 ve bu ifade sadece x=3’te 0, diğer tüm x için pozitiftir.)

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Neden (x−3)^2? — Yorum
  3. Karşılaştırma: >0 vs ≥0
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. İfadenin çarpanlarına ayrılıp ayrılmadığını kontrol edin: x^2 − 6x + 9 = (x−3)^2.
  2. Eşitsizlik: (x−3)^2 > 0. Bir kare sayı ancak sıfırdan büyük olur; yalnızca kare 0 olduğunda eşitlik sağlanır.
  3. (x−3)^2 = 0 ⇔ x = 3. Dolayısıyla tüm x için ifade pozitif, tek istisası x=3.
  4. Sonuç: Çözüm kümesi = R \ {3}.

:light_bulb: Pro Tip: Tam kare trinomları görür görmez (x−a)^2 formuna dönüştürün; eşitsizlikler hızlı çözülür.

Neden (x−3)^2? — Yorum

İkinci dereceden ifadeyi tam kare olarak tanımak, köklerin çakıştığını (çift katlı kök) gösterir. Parabola y = x^2 − 6x + 9 in tepe noktası (minimum) x = 3’te ve bu değer 0’dır; parabola yukarıya açık olduğu için bu minimumun dışında kalan x değerlerinde fonksiyon pozitiftir.

:warning: Uyarı: Eşitsizlik ≥ ile verilseydi çözüm kümesi farklı olurdu (x = 3 dahil edilirdi).

Karşılaştırma Tablosu: >0 vs ≥0

Aspekt x^2−6x+9 > 0 x^2−6x+9 ≥ 0
Kök durumu x = 3 hariç tüm reel Tüm reel (x=3 dahil)
Çözüm kümesi R \ {3} R
Geometrik yorum Parabolanın sıfır olmayan değerleri Parabola her zaman ≥ 0, tepe noktası 0

Özet Tablo

Öğe Detay
İfade x^2 − 6x + 9 = (x−3)^2
Eşitsizlik (x−3)^2 > 0
Çözüm R \ {3}
Doğru seçenek E

Sık Sorulan Sorular

  1. Bu tür sorularda ilk adım ne olmalı?

    • İfadeyi çarpanlara ayırma veya tam kare olup olmadığını kontrol etmek en hızlı yoldur.

  2. Eğer polinomun katsayısı negatif olsaydı ne olurdu?

    • Parabolanın açılışı ters olur; işaret analizini ona göre yapıp kök aralıklarını değerlendirirsiniz.

  3. Nasıl hızlı sınav tekniği uygulanır?

    • Tam kareyi hemen görürseniz, kökün tek bir nokta olduğunu ve işaretin bu noktada nasıl değiştiğini kontrol edin (tek/çift katlı kök farkı önemlidir).

Sonraki adımlar: Bu türden 5 kısa soru içeren bir pratik seti ister misiniz? @Elif_ecrin3