A)-15
B)-10
C)-5
D) 0
E) 3(C)
3, x - 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre,
Q(x) = P(P(X)) polinomunun x - 4x + 3 ile bölü-
münden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A)
x
B) x-2 C)x-3 D)-2
E)-3 A)
Q(x) = P(P(x)) Polinomunun x^2 - 4x + 3 ile Bölümünden Kalanın Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER VE BÖLME ÖZDEŞLİĞİ:
- Bölme Özdeşliği: Bir Q(x) polinomunun T(x) bölenine bölümünden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) ise:Q(x) = T(x) \cdot B(x) + K(x)
- Bölen polinom 2. dereceden ise, kalan en fazla 1. dereceden olur: K(x) = ax + b
- Çarpanlara ayırma: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Kalan Değerlerini Belirleme
P(x) polinomunun x - 1 ile bölümünden kalan 3 ve x - 3 ile bölümünden kalan 1 olarak verilmiştir:
- P(1) = 3
- P(3) = 1
Adım 2 — Q(x) İçin Bölme Bağıntısını Kurma
Q(x) = P(P(x)) polinomunun x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) ile bölümünden kalan K(x) = ax + b olsun:
Q(x) = (x - 1)(x - 3) \cdot B(x) + ax + b
Adım 3 — x = 1 Değerini Bağıntıda Yerine Yazma
Q(1) = (1 - 1)(1 - 3) \cdot B(1) + a(1) + b
Q(1) = a + b
Aynı zamanda bileşke fonksiyondan:
Q(1) = P(P(1)) = P(3) = 1
Buradan birinci denklem elde edilir:
a + b = 1
Adım 4 — x = 3 Değerini Bağıntıda Yerine Yazma
Q(3) = (3 - 1)(3 - 3) \cdot B(3) + a(3) + b
Q(3) = 3a + b
Aynı zamanda bileşke fonksiyondan:
Q(3) = P(P(3)) = P(1) = 3
Buradan ikinci denklem elde edilir:
3a + b = 3
Adım 5 — Denklem Sistemini Çözme
Elde edilen iki denklemi alt alta çıkaralım:
$$\begin{aligned}
3a + b &= 3 \
-(a + b &= 1) \
\hline
2a &= 2 \implies a = 1
\end{aligned}$$
a = 1 değerini a + b = 1 denkleminde yerine yazalım:
1 + b = 1 \implies b = 0
Kalan polinomumuz K(x) = ax + b = 1x + 0 = x bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (x)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinomlarda Kalan Teoremi
- Tanım: Bir P(x) polinomunun x - a ile bölümünden kalan P(a) değerine eşittir.
- Bu problemde: x - 1 ile bölümünden kalan P(1) = 3, x - 3 ile bölümünden kalan P(3) = 1 olarak kullanılmıştır.
2. İkinci Dereceden Bölende Kalanın Derecesi
- Tanım: Bir polinom 2. dereceden bir polinoma bölündüğünde kalan polinomunun derecesi en fazla 1 olabilir.
- Bu problemde: Kalan K(x) = ax + b şeklinde modellenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bileşke Polinom Değerini Yanlış Hesaplama
- Yanlış: Q(1) hesaplanırken doğrudan P(1) değerini alıp 3 yazmak.
- Doğru: Q(1) = P(P(1)) = P(3) = 1 şeklinde iki katmanlı bileşke sırasını takip etmek.
- Neden yanlış: Q(x) doğrudan P(x) değil, P(P(x)) bileşkesidir; bu nedenle önce içteki değer (P(1)=3), ardından dıştaki fonksiyon (P(3)=1) hesaplanmalıdır.
Polinomlarda bölme ve bileşke kavramını pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmemi ister misin?