mi
A)
3, x 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre,
Q(x) = P(P(X) polinomunun x-4x +3 ile bölü-
münden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) x
E) -3 (A
B) x-2 C)x-3 D) -2
P(P(x)) Polinomunun x^2 - 4x + 3 ile Bölümünden Kalanın Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE TEOREMLER:
- Polinom Kalan Teoremi: Bir P(x) polinomunun (x - a) ile bölümünden kalan P(a) değerine eşittir.
- Bölme Özdeşliği: P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)
- Bölen polinom 2. dereceden ise kalan en fazla 1. dereceden (K(x) = ax + b) olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Kalan Bilgilerini Yazma
- P(x) polinomunun (x - 1) ile bölümünden kalan 3 ise:P(1) = 3
- P(x) polinomunun (x - 3) ile bölümünden kalan 1 ise:P(3) = 1
Adım 2 — Bölme Özdeşliğini ve Kalan Kalıbını Oluşturma
Q(x) = P(P(x)) polinomunu bölen ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Bölen 2. dereceden olduğu için kalan polinomu K(x) = ax + b şeklinde 1. dereceden bir doğrudur:
Q(x) = (x - 1)(x - 3) \cdot B(x) + (ax + b)
Adım 3 — Q(1) ve Q(3) Değerlerini Hesaplama
-
x = 1 için:
Q(1) = P(P(1)) = P(3) = 1Bölme eşitliğinde x = 1 yazarsak:
Q(1) = (1 - 1)(1 - 3) \cdot B(1) + a(1) + b \implies a + b = 1 -
x = 3 için:
Q(3) = P(P(3)) = P(1) = 3Bölme eşitliğinde x = 3 yazarsak:
Q(3) = (3 - 1)(3 - 3) \cdot B(3) + a(3) + b \implies 3a + b = 3
Adım 4 — Katsayıları Bulma ve Kalanı Yazma
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:
\begin{cases} a + b = 1 \\ 3a + b = 3 \end{cases}
İkinci denklemden birinci denklemi çıkarırsak:
(3a + b) - (a + b) = 3 - 1
2a = 2 \implies a = 1
Bulunan a = 1 değerini a + b = 1 denkleminde yerine yazalım:
1 + b = 1 \implies b = 0
Kalan polinomu:
K(x) = 1 \cdot x + 0 = x
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (x)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bileşke Polinom Kalanı
- Tanım: P(P(x)) biçimindeki bileşke fonksiyonlu polinomlarda içteki polinomun değeri, dıştaki polinomun girdisi olur.
- Bu problemde: x = 1 için önce P(1) = 3 bulunmuş, ardından bu değer yerine yazılarak P(3) = 1 elde edilmiştir.
2. Dereceye Göre Kalan İlişkisi
- Tanım: Kalan polinomun derecesi daima bölen polinomun derecesinden küçük olmalıdır.
- Bu problemde: Bölen 2. dereceden olduğu için kalan en çok 1. dereceden (ax + b) olarak seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bileşke Sırasını Karıştırmak
- Yanlış: Q(1) için P(1) \cdot P(1) = 3 \cdot 3 = 9 almak.
- Doğru: Q(1) = P(P(1)) = P(3) = 1 olarak adım adım içten dışa doğru gitmek.
- Neden yanlış: Polinomlarda P(P(x)) bileşke işlemidir, çarpma işlemi değildir.
Bu konuyla ilgili benzer bir bileşke polinom sorusu çözmemi ister misin?