Soru:
3^{x+3} - 3^{x+1} = 8 \\
olduğuna göre, x değeri kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
Verilen Denkleme Göre x Değerini Bulma
Kullanılan Kural/Formül: Üslü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle denklemi sadeleştirme.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Denklemi Yazma ve İnceleme
Verilen denklem:
\frac{3^{x+3} - 3^{x+1}}{9} = 8
Adım 2 — Paydaki 9’u Üslü Şekilde Yazma
9 sayısını 3^2 şeklinde yazabiliriz:
\frac{3^{x+3} - 3^{x+1}}{3^2} = 8
Adım 3 — Paydaki Terimlere Ortak Çarpan Alma
Paydaki ifadede 3^{x+1} ortak çarpan olarak alınabilir:
3^{x+3} - 3^{x+1} = 3^{x+1} \cdot (3^2 - 1) = 3^{x+1} \cdot (9 - 1) = 3^{x+1} \cdot 8
Adım 4 — Denklemi Sadeleştir
Denklem şu hale gelir:
\frac{3^{x+1} \cdot 8}{3^2} = 8
8’ler birbirini götürür:
\frac{3^{x+1}}{3^{2}} = 1
Adım 5 — Üsleri Çıkartarak Denklem Kurma
Bölme işleminde üsler çıkarılır:
3^{x+1 - 2} = 1 \implies 3^{x - 1} = 1
Adım 6 — Üs Eşitliğini Kullanma
3^{x-1} = 1 eşitliği ancak üst sıfır olduğunda sağlanır:
x - 1 = 0 \implies x = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: x = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Üslü ifadelerde ortak çarpan paranteze alma
- Üslerin çıkarılması (bölme işlemi için)
- Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin 1 olması
Yaygın Hatalar:
- Paydaki ifadede ortak çarpanı almadan eşitliği kurmaya çalışmak
- 9 sayısını 3^2 olarak ifade etmemek
- Üsleri çıkarırken işlem hatası yapmak
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
\displaystyle \frac{3^{x+3}-3^{x+1}}{9}=8 olduğuna göre, x değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Üslerin çarpım kuralı: a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}
- Aynı tabandaki üs eşitliği: a^{u}=a^{v}\Rightarrow u=v (a>0, a≠1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemin başlangıç hali
\frac{3^{x+3}-3^{x+1}}{9}=8
Adım 2 — Payı ortak çarpan olarak düzenle
3^{x+3}
= $$3^{x+1}\cdot 3^{2}$$
$$$$
3^{x+3}-3^{x+1}
= $$3^{x+1}\cdot 3^{2}-3^{x+1}$$
$$$$
3^{x+3}-3^{x+1}
= $$3^{x+1}\cdot(3^{2}-1)$$
Adım 3 — Düzenlenmiş ifadeyi denklemde yerine koy
\frac{3^{x+1}\cdot(3^{2}-1)}{9}=8
Adım 4 — Parantezi ve sayıları hesapla
3^{2}-1
= $$9-1$$
= $$8$$
$$$$
\frac{3^{x+1}\cdot 8}{9}=8
Adım 5 — Her iki tarafı sadeleştir / çöz
\frac{3^{x+1}\cdot 8}{9}=8
$$$$
Her iki tarafı 9 ile çarp:
3^{x+1}\cdot 8=8\cdot 9
$$$$
Her iki tarafı 8 ile böl:
3^{x+1}=\frac{8\cdot 9}{8}
$$$$
3^{x+1}=9
Adım 6 — Üslere bakarak x’i bul
3^{x+1}=3^{2}
$$$$
x+1=2
$$$$
x=1
CEVAP: x=1
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslerin çarpım kuralı
- Tanım: a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}
- Bu problemde: 3^{x+3}=3^{x+1}\cdot 3^{2} şeklinde kullanıldı.
- Aynı tabandaki üs eşitliği
- Tanım: Aynı tabana sahip üslü ifadeler eşitse üsleri eşittir.
- Bu problemde: 3^{x+1}=9 iken 9=3^{2} olduğundan x+1=2 bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payda unutulması
- Yanlış: Denklemi 3^{x+3}-3^{x+1}=8 şeklinde almak.
- Doğru: Orijinal denklem \dfrac{3^{x+3}-3^{x+1}}{9}=8 olduğundan paydanın dikkate alınması gerekir.
- Neden yanlış: Payda denklemde çarpan olarak kalırsa sonuç değişir.
- Düzeltme: Önce payı düzenleyip sonra payda ile sadeleştirme yapın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!