\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 5
\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4
olduğuna göre, a \cdot b çarpımı kaçtır?
A) -\frac{21}{13}
B) -\frac{63}{26}
C) -\frac{77}{26}
D) \frac{27}{26}
E) \frac{1}{13}
\frac{4}{a+b} + \frac{2}{a-b} = \frac{5}{3}
\frac{3}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{4}{3}
A) 12
B) 6
C) 8
D) 10
E) 5
x + 2y = 3
y - x = 6
z - 2y = 5
A) 114
B) 112
C) 130
D) 128
E) 110
x, y ve z birer gerçel sayıdır.
x^2y = 9
y^2z^2 = 6
xz = 4
A) 3
B) 2
C) 5
D) 4
E) 6
Birinci ve İkinci Dereceden Denklem Sistemleri Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki veya üç bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, yok etme ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri kullanılır. Çarpım durumundaki denklem sistemlerinde ise tüm eşitlikler taraf tarafa çarpılarak ortak üs elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. Soru Çözümü
Verilen denklemler:
\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 5
\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4
- İkinci denklem 2 ile çarpılıp birinci denklemle taraf tarafa toplanırsa:\frac{3}{x} - \frac{2}{y} + \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 5 + 8 \implies \frac{7}{x} = 13 \implies x = \frac{7}{13}
- İkinci denklemde x yerine yazılırsa:\frac{2}{\frac{7}{13}} + \frac{1}{y} = 4 \implies \frac{26}{7} + \frac{1}{y} = 4 \implies \frac{1}{y} = 4 - \frac{26}{7} = \frac{2}{7} \implies y = \frac{7}{2}
- İstenen x - y farkı:x - y = \frac{7}{13} - \frac{7}{2} = \frac{14 - 91}{26} = -\frac{77}{26}
CEVAP 1: C) -\frac{77}{26}
2. Soru Çözümü
u = \frac{1}{a+b} ve v = \frac{1}{a-b} dönüşümü yapılırsa:
4u + 2v = \frac{5}{3}
-u + 3v = \frac{4}{3}
- İkinci denklem 4 ile çarpılıp birinci denklemle toplanır:14v = \frac{5}{3} + \frac{16}{3} = \frac{21}{3} = 7 \implies v = \frac{1}{2} \implies a - b = 2
- İkinci denklemden u değeri bulunur:-u + 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{1}{6} \implies a + b = 6
- Taraf tarafa toplanırsa:2a = 8 \implies a = 4, \quad b = 2
- İstenen çarpım:a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8
CEVAP 2: C) 8
3. Soru Çözümü
Verilen sistem:
x + 2y = 3
y - x = 6
z - 2y = 5
- İlk iki denklem taraf tarafa toplanırsa:3y = 9 \implies y = 3
- y = 3 yerine yazılırsa:3 - x = 6 \implies x = -3
- Üçüncü denklemde y = 3 yazılırsa:z - 2(3) = 5 \implies z = 11
- İfade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır:z^2 + xy + xz + yz = z(z + y) + x(z + y) = (z + x)(z + y)
- Değerler yerine konur:(11 - 3)(11 + 3) = 8 \cdot 14 = 112
CEVAP 3: B) 112
4. Soru Çözümü
Verilen eşitlikler:
x^2y = 9
y^2z^2 = 6
xz = 4
- Eşitliklerin tamamı taraf tarafa çarpılır:(x^2y) \cdot (y^2z^2) \cdot (xz) = 9 \cdot 6 \cdot 4x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = 216(x \cdot y \cdot z)^3 = 6^3 \implies x \cdot y \cdot z = 6
CEVAP 4: E) 6
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çarpım halindeki denklem sistemlerinde bilinmeyenleri tek tek bulmak yerine denklemleri taraf tarafa çarparak (x \cdot y \cdot z)^n gibi ortak bir tam kuvvet elde etmek en hızlı çözümdür.