\( 3^{x+1} = \frac{1}{29} \) Olduğuna Göre \( x \)'in Değeri Hangi Aralıktadır?

YKS TYT
1

3**1 = 1 29 olduğuna göre, x’in değeri hangi aralıktadır? A) -6 <X<5 C)-4 <x<-3 E)-2 < x<-1 B) -5 <X<-4 D) -3 <x<-2

Resim
Resim452×286 8.89 KB

2

3^{x+1} = \frac{1}{29} Olduğuna Göre x 'in Değeri Hangi Aralıktadır?

Önemli Noktalar

  • 3^{x+1} = \frac{1}{29} denkleminde x = -1 - \log_3 29
  • \log_3 29 \approx 3{,}065 olduğundan x \approx -4{,}065
  • Bu değer B) -5 < x < -4 aralığına düşer (doğru cevap B).

3^{x+1} = \frac{1}{29} denklemindeki x , yaklaşık -4{,}065 değerindedir ve seçenekler arasında -5 < x < -4 (B şıkkı) aralığına girer. Bu, YKS TYT seviyesinde logaritma ve üs alma bilgisiyle çözülür; 3^3 = 27 ve 3^4 = 81 arasındaki 29 değeri, logaritmayı 3 ile 4 arasına yerleştirir.

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. Yaklaşık Değer Hesaplama
  3. Seçenekleri Doğrulama Tablosu
  4. Karşılaştırma: Üs Değerleri
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Çözüm

Denklem: 3^{x+1} = \frac{1}{29}

  1. Üssü sadeleştir: 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x = \frac{1}{29}
    → 3^x = \frac{1}{29 \cdot 3} = \frac{1}{87} (alternatif yol, ama doğrudan log alalım)

  2. Her iki tarafa logaritma base 3 al:

    x + 1 = \log_3 \left( \frac{1}{29} \right) = -\log_3 29

  3. x = -1 - \log_3 29

:light_bulb: Pro İpucu: Hesap makinesi olmadan çözmek için 3^3 = **27** , 3^4 = **81** kullanın. 29 > 27 olduğundan \log_3 29 > 3 , yani x < -4 .

Yaklaşık Değer Hesaplama

\log_3 29 nasıl bulunur?

  • Değişim tabanı formülü: \log_3 29 = \frac{\ln 29}{\ln 3} veya \frac{\log_{10} 29}{\log_{10} 3}
  • \log_{10} 29 \approx 1{,}462 (çünkü 10^{1{,}462} \approx 29 )
  • \log_{10} 3 \approx 0{,}477
  • \log_3 29 \approx \frac{1{,}462}{0{,}477} \approx **3{,}065**

Sonuç: x \approx -1 - 3{,}065 = **-4{,}065**

Pratik senaryo: YKS’de hesap makinesi yokken, \frac{1}{27} \approx 0{,}037 > \frac{1}{29} \approx 0{,}0345 > \frac{1}{81} \approx 0{,}012 farkını görün.

:warning: Uyarı: Negatif üslerde hata yapmayın: 3^{-3} = \frac{1}{27} , 3^{-4} = \frac{1}{81} .

Seçenekleri Doğrulama Tablosu

Her aralığın ortasındaki x için 3^{x+1} değerini hesaplayıp 1/29 ≈ 0{,}0345 ile karşılaştırın:

Şık Aralık Örnek x x+1 3^{x+1} Yaklaşık 1/29’e Yakın mı?
A -6 < x < -5 -5.5 -4.5 3^{-4.5} \approx 0{,}004 Hayır (çok küçük)
B -5 < x < -4 -4.5 -3.5 3^{-3.5} \approx 0{,}038 Evet (yakın)
C -4 < x < -3 -3.5 -2.5 3^{-2.5} \approx 0{,}108 Hayır (büyük)
D -3 < x < -2 -2.5 -1.5 3^{-1.5} \approx 0{,}192 Hayır
E -2 < x < -1 -1.5 -0.5 3^{-0.5} \approx 0{,}577 Hayır

Sonuç: Yalnızca B aralığı 1/29’e uyar.

Karşılaştırma: Üs Değerleri

Üs (x+1) 3^{x+1} Karşılaştırma (1/29 ≈0.0345)
-4 1/81 ≈ 0.012 Küçük
-3.5 ≈ 0.038 Yakın (B aralığı)
-3 1/27 ≈ 0.037 Hemen büyük

:bullseye: Anahtar Nokta: x+1 \approx -4{,}065 , yani 3^{-4{,}065} \approx 1/29 . YKS’de bu tabloyla hızlı doğrulayın.

Özet Tablo

Unsur Detay
Denklem 3^{x+1} = \frac{1}{29}
Çözüm x = -1 - \log_3 29
\log_3 29 ≈ 3{,}065 (3^3=27, 3^4=81 arası)
x Yaklaşık -4{,}065
Doğru Şık B) -5 < x < -4
Kontrol Yöntemi Üs değerlerini karşılaştır: 1/81 < 1/29 < 1/27
Hata Kaynağı Pozitif logaritma unutmak

Sık Sorulan Sorular

1. Hesap makinesi olmadan nasıl çözerim?
3^3 = 27 < 29 < 81 = 3^4 olduğundan 3 < \log_3 29 < 4 , x+1 arası -4 ile -3, yani x arası -5 ile -4.

2. Neden tam değer değil?
29 tam üs değil, logaritma irrasyonel. YKS’de aralık sorulur, tam eşitlik aranmaz (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik).

3. Log başka tabanda alsam?
Evet: x+1 = \frac{\ln(1/29)}{\ln 3} , sonuç aynı.

4. Benzer sorularda ne yapayım?
Her zaman 1/a^b = a^{-b} kuralını kullanın, log alın.

5. x tam sayı olsaydı?
Olsaydı 1/27 veya 1/81 olurdu, ama 29 farklı.

Sonraki Adımlar

YKS pratiği için bu soruya benzer 5 logaritma sorusu hazırlamamı ister misiniz? Ya da üs-logaritma karıştırma hatalarını inceleyelim mi?

@1ozlemozyigit

3

3^{x+1} = 1/29 olduğuna göre, x’in değeri hangi aralıktadır?

Önemli Noktalar

  • Denklem: 3^{x+1} = 1/29
  • İşlem: Önce üstel ifadeyi tam sayı üslerle sınırlayıp sonra logaritma ile yakınsama yapılır
  • Sonuç: -5 < x < -4 (Doğru seçenek: B)

Çözüm (özet, 40-60 kelime): Üstel ifadenin sağ tarafı 1/29 ≈ 0.03448 olduğundan, 3^{-4}=1/81≈0.0123 < 1/29 < 1/27=3^{-3}≈0.0370. Dolayısıyla -4 < x+1 < -3, yani -5 < x < -4. Alternatif olarak logaritma ile x = -1 - log_3(29) ≈ -4.07 bulunur.

İçindekiler

  1. Hızlı Tam Sayı Üsleriyle Sınırlama
  2. Logaritma ile Kesin Hesaplama
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Hızlı Tam Sayı Üsleriyle Sınırlama

  • Adım 1: Sağ tarafı sayısal olarak değerlendirin: 1/29 ≈ 0.03448.
  • Adım 2: 3’ün negatif tam sayı üslerini karşılaştırın:
    • 3^{-3} = 1/27 ≈ 0.037037
    • 3^{-4} = 1/81 ≈ 0.012346
  • Çünkü 1/81 < 1/29 < 1/27, üstel fonksiyon (taban >1) için üs sıralaması tersine dönmez; bu da
    • -4 < x+1 < -3
    • -5 < x < -4

:light_bulb: Pro Tip: Üsleri tam sayılarla sınamak, özellikle seçeneklerde aralık verildiğinde en hızlı ve hata yapma olasılığı düşük yöntemdir.

Logaritma ile Kesin Hesaplama

  • Denklemi logaritmaya alalım: x + 1 = log_3(1/29) = - log_3(29).
  • Dolayısıyla: x = -1 - log_3(29).
  • Yaklaşık hesap: log_3(29) = ln(29)/ln(3) ≈ 3.06…, bu yüzden x ≈ -1 - 3.06 ≈ -4.06.
  • Bu sonuç da aralığın -5 < x < -4 olduğunu doğrular.

:warning: Uyarı: Logaritma ile işlem yaparken doğal logaritma (ln) veya 10 tabanlı log kullanılabilir; ancak aynı tabanı kullanıp oran alınmalıdır (log_3(29) = ln29/ln3).

Karşılaştırma Tablosu

Aspekt Tam Sayı Üsleriyle Sınırlama Logaritma ile Hesaplama
Hız Çok hızlı (özellikle seçenekli sorularda) Orta (hesap makinesi veya ln gerekir)
Doğruluk Kesin aralık belirler (tam üsler varsa) Kesin ondalık değer verir
Gereken araç Sadece temel üs bilgisi Hesap makinesi (ln) veya log tablosu
Kullanım durumu Çoktan seçmeli ve kestirme çözümler Sayısal yakınsama ve kesinlik istendiğinde

Özet Tablo

Eleman Detay
Denklem 3^{x+1} = 1/29
Temel kıyaslama 3^{-4} < 1/29 < 3^{-3}
Eşitsizlik -4 < x+1 < -3 → -5 < x < -4
Yaklaşık değer x ≈ -4.06
Doğru seçenek B: -5 < x < -4

Sık Sorulan Sorular

  1. Neden 3^{-4} ve 3^{-3} ile kıyasladık?
    Çünkü 29 komşu tam üs değerlerini (27 ve 81) içeriyor; 1/27 ve 1/81 arasındaki konum üssün hangi aralıkta olduğunu hemen gösterir.

  2. Logaritma kullanmak her zaman gerekli mi?
    Hayır; tam sayı üsleriyle sınama mümkünse aralık hemen bulunur. Kesin ondalık sonuç gerektiğinde logaritma kullanılır.

  3. Taban 1’den küçük olsaydı mantık nasıl değişirdi?
    Eğer taban 0< a <1 olsaydı, üstel fonksiyon azalan olur ve eşitsizlik yönleri tersine dönerdi; o durumda dikkatli olmak gerekir.

Sonraki Adımlar

Seçenekli sorular için benzer kestirme teknikler görmek ister misiniz yoksa logaritma ile adım adım ondalık hesaplama örneği ister misiniz? @1ozlemozyigit