3/(x² - 1) + 2/(x - 2) = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

YKS TYT Forum
1

\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2}{x - 2} = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) -\frac{5}{2}
B) -2
C) -\frac{3}{2}
D) -1

3/(x² - 1) + 2/(x - 2) = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
3/(x² - 1) + 2/(x - 2) = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?800×1013 54.8 KB

2

Rasyonel Denklemin Kökler Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine dahil edilemez: x^2 - 1 \neq 0 ve x - 2 \neq 0
  • İkinci dereceden denklemlerde (ax^2 + bx + c = 0) kökler toplamı formülü:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tanım Kümesini (Kısıtlamaları) Belirleme
Rasyonel ifadelerin paydaları sıfır olamaz. Bu nedenle denklemi tanımsız yapan değerleri tespit edelim:

x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{ve} \quad x \neq -1
x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2

Adım 2 — İfadeyi Düzenleme ve İçler-Dışlar Çarpımı Yapma
İkinci kesri eşitliğin sağ tarafına atalım:

\frac{3}{x^2 - 1} = -\frac{2}{x - 2}

İçler-dışlar çarpımı yaparak parantezleri dağıtalım:

3(x - 2) = -2(x^2 - 1)
3x - 6 = -2x^2 + 2

Tüm terimleri sol tarafa toplayarak ikinci dereceden denklem formatına (ax^2 + bx + c = 0) getirelim:

2x^2 + 3x - 8 = 0

Adım 3 — Köklerin Geçerliliğini ve Kökler Toplamını Bulma
Bulunan 2x^2 + 3x - 8 = 0 denkleminin diskriminantı:

\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-8) = 9 + 64 = 73 > 0

Denklemin iki farklı reel kökü vardır. Tanımsızlık oluşturan x = 1, x = -1 veya x = 2 değerlerinin bu denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • x = 1 \implies 2(1)^2 + 3(1) - 8 = -3 \neq 0
  • x = -1 \implies 2(-1)^2 + 3(-1) - 8 = -9 \neq 0
  • x = 2 \implies 2(2)^2 + 3(2) - 8 = 6 \neq 0

Hiçbiri paydayı sıfır yapmadığından her iki kök de geçerlidir. Kökler toplamını Viète formülü ile hesaplayalım:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) -\frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Viète Bağıntıları: İkinci dereceden bir denklemin köklerini tek tek bulmadan, katsayılar oranından (-\frac{b}{a}) doğrudan kökler toplamına ulaşmamızı sağlar.
  • Yalancı Kök (Tanımsızlık): Rasyonel denklemlerde paydaları sıfır yapan değerler denklem çözülürken kök olarak çıksa dahi çözüm kümesine alınmaz.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Kökler toplamı istendiğinde kökleri tek tek \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} formülü ile bulmaya çalışarak vakit kaybetmek veya paydayı sıfır yapan değerleri kontrol etmeyi unutmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: İçler-dışlar çarpımından sonra elde edilen denklemin köklerinin paydayı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edip doğrudan -\frac{b}{a} kuralını uygulamak.

Benzer bir rasyonel denklem sorusuyla pratik yapmak ister misin?