3.n bir dogal sayı olmak üzere

Maths Question
1

3.n bir dogal sayı olmak üzere.
72/10
sayısinın asal bölenierinin toplamu Adir.
Buna göre, A’nn alabilecegi degerler toplamı kaçtır?
B) 10
A)6
c)15
D) 20
E) 25

3.n bir dogal sayı olmak üzere.
3.n bir dogal sayı olmak üzere.1024×768 93.9 KB

2

3 \cdot n bir doğal sayı olmak üzere, 72/10^n sayısının asal bölenlerinin toplamı A’dır. Buna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının asal bölenlerini bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Rasyonel ifadelerde asal bölenler, pay ve paydadaki tüm asal çarpanların birleşimidir. n doğal sayı olduğu için n \ge 0 olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Sayıyı İfade Etme
Verilen sayı \frac{72}{10^n}'dir. n bir doğal sayı olduğu için n değerleri 0, 1, 2, 3, \dots olabilir.

Adım 2 — Pay ve Paydayı Asal Çarpanlarına Ayırma
Payı asal çarpanlarına ayıralım:
72 = 2^3 \cdot 3^2

Paydayı asal çarpanlarına ayıralım:
10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n

Şimdi sayıyı yeniden yazalım:
\frac{72}{10^n} = \frac{2^3 \cdot 3^2}{2^n \cdot 5^n}

Adım 3 — n=0 Durumu İçin Asal Bölenleri Bulma
Eğer n=0 ise, 10^0 = 1 olur. Sayı 72 olur.
72 = 2^3 \cdot 3^2
Bu durumda asal bölenler \{2, 3\}'tür.
Asal bölenlerin toplamı A_0 = 2 + 3 = 5 olur.

Adım 4 — n=1 Durumu İçin Asal Bölenleri Bulma
Eğer n=1 ise, sayı \frac{2^3 \cdot 3^2}{2^1 \cdot 5^1} = 2^{3-1} \cdot 3^2 \cdot 5^{-1} = \frac{2^2 \cdot 3^2}{5^1} olur.
Bir kesirli sayının asal bölenleri, pay ve paydadaki tüm asal çarpanlardır. Yani asal bölenler \{2, 3, 5\}'tir.
Asal bölenlerin toplamı A_1 = 2 + 3 + 5 = 10 olur.

Adım 5 — n \ge 2 Durumu İçin Asal Bölenleri Bulma
Eğer n \ge 2 ise, 2^3 ve 2^n ifadelerine bakalım.
\frac{2^3 \cdot 3^2}{2^n \cdot 5^n} = \frac{3^2}{2^{n-3} \cdot 5^n}
Bu durumda, payda kısmında 2 ve 5 asal çarpanları her zaman bulunacaktır (n-3 pozitif veya sıfır olabilir, ancak 2^{n-3} paydada kalacaktır). Pay kısmında ise sadece 3 asal çarpanı vardır.
Dolayısıyla, n \ge 2 için asal bölenler \{2, 3, 5\}'tir.
Asal bölenlerin toplamı A_k = 2 + 3 + 5 = 10 olur.

Adım 6 — A’nın Alabileceği Değerleri Toplama
Gördüğümüz gibi, A sadece iki farklı değer alabilir:

  • n=0 iken A=5
  • n \ge 1 iken A=10 (çünkü n=1 için de 2,3,5 ve n=2 için de 2,3,5 asal bölenleri gelir)

A’nın alabileceği değerler \{5, 10\}'dur.
A’nın alabileceği değerler toplamı 5 + 10 = 15’tir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Asal Çarpanlara Ayırma

  • Tanım: Bir sayıyı yalnızca asal sayılardan oluşan çarpanların çarpımı şeklinde yazma işlemidir.
  • Bu problemde: 72 = 2^3 \cdot 3^2 ve 10^n = 2^n \cdot 5^n olarak kullanıldı.

2. Asal Bölen

  • Tanım: Bir sayının tam bölenleri arasında asal olan sayılardır. Rasyonel ifadelerde hem pay hem de paydanın asal çarpanları dahil edilir.
  • Bu problemde: Sayının n değerine göre değişen asal bölen kümeleri belirlendi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Paydadaki Asal Bölenleri Göz Ardı Etme

  • Yanlış: Sadece payın asal bölenlerini almak (2 ve 3).
  • Doğru: Rasyonel bir sayının asal bölenleri, paydaki ve paydadaki tüm benzersiz asal çarpanların birleşimidir. Eğer bir asal sayı paydada kalıyorsa, o da asal bölen olarak kabul edilir. Örneğin n=1 iken 5 asal bölenidir.
  • Neden yanlış: Sayı bir kesir olduğunda, paydayı sadeleştirdikten sonra kalan asal çarpanlar da sayının tanım kümesindeki “asal bileşenleri” olarak kabul edilir.

:cross_mark: n=0 Durumunu Unutma

  • Yanlış: n doğal sayı olduğu için n’in 1, 2, \dots gibi pozitif tam sayılarla başladığını varsaymak.
  • Doğru: 0 da bir doğal sayıdır. Bu nedenle n=0 durumunu ayrı ayrı değerlendirmek gerekir.
  • Neden yanlış: n=0 durumu, asal bölenlerin kümesini değiştirebilir ve A’nın alabileceği değerlerden birini kaçırmanıza neden olabilir.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir asal çarpan sorusu daha çözmemi ister misin?