-3 + a <X+ 1s3-2a eşitsizliğinin çözüm aralığı (-5, 4] araliğı oldu- ğuna göre, a değeri kaçtır? A) -3 1 D) E) 1 B) -2 C) -1 D) ;

YKS TYT
1

-3 + a <X+ 1s3-2a eşitsizliğinin çözüm aralığı (-5, 4] araliğı oldu- ğuna göre, a değeri kaçtır? A) -3 1 D) E) 1 B) -2 C) -1 D) ;

Resim
Resim1080×394 52.4 KB

2

-3 + a < x + 1 ≤ 3 - 2a Eşitsizliğinin Çözüm Aralığı (-5, 4] Olduğuna Göre a Değeri Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Bileşik eşitsizlik -3 + a < x + 1 ≤ 3 - 2a’nın çözüm kümesi (a - 4, 2 - 2a] şeklindedir.
  • Bu aralık (-5, 4] ile eşitlenince: a - 4 = -5 ve 2 - 2a = 4 her ikisi de a = -1 verir.
  • Doğru cevap: C) -1 (Seçenekler arasında tutarlı ve tek çözüm).

Doğru cevap C) -1’dir. Bileşik eşitsizlik çözümlendiğinde x’in aldığı aralık (a - 4, 2 - 2a] olur. Bu, verilen (-5, 4] aralığına eşitlenerek her iki uç nokta da a = -1 sonucunu verir. Bu değer diğer seçenekleri eleyerek doğrulanır (Kaynak: Standart cebir kuralları, YKS TYT müfredatı).

İçindekiler

  1. Eşitsizliğin Çözümü
  2. a Değerinin Hesaplanması
  3. Seçeneklerin Doğrulanması
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Eşitsizliğin Çözümü

Verilen bileşik eşitsizlik:
-3 + a < x + 1 \leq 3 - 2a

Tüm terimlerden 1 çıkarılarak x izole edilir:

-3 + a - 1 < x \leq 3 - 2a - 1
a - 4 < x \leq 2 - 2a

Çözüm kümesi: (a - 4, 2 - 2a] (Sol açık, sağ kapalı aralık).

Pratik Senaryo: YKS TYT’de bu tür eşitsizlikler, uç noktaları eşitleyerek parametre (a) bulunur. Alanında deneyimli öğretmenler, her zaman uçları ayrı ayrı kontrol eder.

:light_bulb: Pro İpucu: Bileşik eşitsizliklerde yönler korunur (çarpma/çarpma yok). Sol uç > işaretiyle açık kalır.

a Değerinin Hesaplanması

Verilen çözüm aralığı: (-5, 4]

Uç noktaları eşitle:

  1. Sol uç (açık): a - 4 = -5
a = -5 + 4 = \mathbf{-1}
  1. Sağ uç (kapalı): 2 - 2a = 4
2 - 4 = -2a
-2 = -2a

$$a = \mathbf{1} ?$$ Hayır, hata kontrolü:
Doğru: 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4 ✓

Her iki denklem a = -1 verir. Tutarsızlık yok!

S.A.F.E. Yöntemi (Orijinal Çerçeve):

  • Solve (Çöz): Uçları eşitle.
  • Align (Hizala): Aralık türünü kontrol et (açık/kapalı).
  • Fit (Uydur): Seçenekleri yerine koy.
  • Exclude (Ele): Yanlışları sil.

:warning: Uyarı: a = 1 için aralık (1-4, 2-2=0] = (-3, 0] olur, (-5,4] değil!

Seçeneklerin Doğrulanması

Her seçeneği yerine koyup aralığı hesapla:

Seçenek a Sol Uç (a-4) Sağ Uç (2-2a) Aralık Eşleşiyor mu?
A) -3 -7 2-(-6)=8 (-7,8] :cross_mark:
B) -2 -6 2-(-4)=6 (-6,6] :cross_mark:
C) -1 -5 2-(-2)=4 (-5,4] :white_check_mark:
D) 1/2 -3.5 2-1=1 (-3.5,1] :cross_mark:
E) 1 -3 0 (-3,0] :cross_mark:

Sonuç: Yalnızca C) -1 tam eşleşir.

Gerçek Dünya Uygulaması: Mühendislikte (örneğin hız sınırları), parametreler aralıkları belirler. Yanlış a, güvenlik riski yaratır.

:clipboard: Hızlı Kontrol: a=-1 için: -3 + (-1) < x+1 ≤ 3 -2(-1) → -4 < x+1 ≤ 5 → -5 < x ≤ 4 ✓

Karşılaştırma Tablosu: Bileşik Eşitsizlikler

Özellik < ve ≤ Bileşik = Eşitlik Tek Eşitsizlik
Çözüm Şekli Aralık (açık/kapalı) Nokta Yarı doğru
Uç Noktalar a-4 < x ≤ 2-2a a-4 = 2-2a x > a-4
Örnek (-5,4] x=-0.5 x > -5
YKS Zorluğu Orta (TYT) Kolay Kolay
Hata Kaynağı Uçları unutma Yok Yön tersleme

Otomatik Tetik: Bileşik vs Tek – Bileşiklerde iki koşul aynı anda sağlanır.

Özet Tablo

Unsur Detay
Orijinal -3 + a < x + 1 \leq 3 - 2a
Çözüm a - 4 < x \leq 2 - 2a
Verilen Aralık (-5, 4]
a Hesabı Sol: a-4=-5 \to a=-1
Sağ: 2-2a=4 \to a=-1
Doğru Cevap C) -1
Doğrulama Tüm seçenekler test edildi, sadece C uyar
YKS İpucu Uçları eşitle + yerine koyma

Sık Sorulan Sorular

1. Neden her iki uç da aynı a verir?
Çünkü aralık uçları doğrudan a’ya bağlıdır. Tutarlı sistemde tek çözüm olur; tutarsızsa boş küme (YKS’de yok).

2. Aralık neden (açık, kapalı]?
Sol < işareti açık aralık yapar (x = a-4 dahil değil), sağ ≤ kapalı (dahil). Verilen (-5,4] ile tam uyumlu.

3. a= -1 için orijinali kontrol edersek?
-3-1 < x+1 ≤ 3+2 → -4 < x+1 ≤ 5 → -5 < x ≤ 4. Mükemmel eşleşme.

4. Başka seçenek neden uymaz?
Örn. a=-2: (-6,6] ≠ (-5,4]. Uçlar kayar, aralık genişler/daralır.

5. Benzer soruda ne yapılır?
Uçları eşitle, doğrula. Eğer [a,b) ise dikkat et.

Sonraki Adımlar

Bu soruyu pekiştirmek için benzer 5 YKS sorusu hazırlamamı ister misiniz? Ya da bileşik eşitsizlikler için tam rehber mi?

@1ozlemozyigit

3

-3 + a < x + 1 ≤ 3 - 2a eşitsizliğinin çözüm aralığı (-5, 4] olduğuna göre a değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Eşitsizliğin x için çözüldüğünde elde ettiği aralık (a - 4, 2 - 2a] olur.
  • Verilen hedef aralık (-5, 4] ile uç değerlerin eşleşmesi gerekir.
  • Her iki uç için de denklem çözümü a = -1 verir (doğrulama yapılmalıdır).

Doğrudan cevap (özet, 40–60 kelime): Eşitsizliği x için çözdüğümüzde sol sınır a - 4 ve sağ sınır 2 - 2a olur; bunların sırasıyla -5 ve 4 olması gerekiyor. Her iki eşitlikten de a = -1 bulunur. Doğrulama ile çözüm uygun: a = -1.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Doğrulama ve Örnek
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

Eşitsizlik: -3 + a < x + 1 ≤ 3 - 2a

  1. Sol kısımdan x’e göre düzenle:
    -3 + a < x + 1 ⇒ -4 + a < x ⇒ x > a - 4 (sol açık sınır).
  2. Sağ kısımdan x’e göre düzenle:
    x + 1 ≤ 3 - 2a ⇒ x ≤ 2 - 2a (sağ kapalı sınır).
  3. Bu durumda çözüm aralığı: (a - 4, 2 - 2a].

Hedef aralık: (-5, 4]. Uç değerleri eşitleyerek a bulunur:

  • Sol uç: a - 4 = -5 ⇒ a = -1.
  • Sağ uç: 2 - 2a = 4 ⇒ -2a = 2 ⇒ a = -1.

:light_bulb: Pro Tip: Bileşik eşitsizliklerde x için çözüm aldıktan sonra elde edilen biçimi doğrudan verilen aralıkla karşılaştırın; uçların konumu (açık/kapalı) da eşleşmelidir.

Doğrulama ve Örnek

a = -1 iken eşitsizlikte yerine koy:
-3 + (-1) < x + 1 ≤ 3 - 2(-1)
⇒ -4 < x + 1 ≤ 5
⇒ -5 < x ≤ 4

Bu tam olarak (-5, 4] aralığıdır; dolayısıyla a = -1 doğru ve tek çözümdür.

:warning: Uyarı: Uçlarda açık/kapalı durumlarını karıştırmayın: sol taraftaki ‘<’ açık sınır, sağ taraftaki ‘≤’ kapalı sınır olduğunu korumalıdır.

Karşılaştırma Tablosu

Uç Elde Edilen İfade Hedef Aralık
Sol (açık) a - 4 -5 ⇒ a - 4 = -5 ⇒ a = -1
Sağ (kapalı) 2 - 2a 4 ⇒ 2 - 2a = 4 ⇒ a = -1

Özet Tablo

Unsur Detay
Eşitsizlik -3 + a < x + 1 ≤ 3 - 2a
x için çözüm (a - 4, 2 - 2a]
Hedef aralık (-5, 4]
Bulunan a -1
Doğrulama a = -1 için x aralığı → -5 < x ≤ 4 (eşleşiyor)

Sık Sorulan Sorular

  1. Eşitsizliğin yönleri değişir mi?
    Hayır; burada yalnızca toplama/çıkarma yapıldığı için eşitsizlik yönü değişmez. Çarpma/bolme ile negatif sayı bölünseydi yön değişebilirdi.

  2. Eğer uçlardan biri eşleşmeseydi ne olurdu?
    Uçlardan biri farklıysa verilen aralık eşitsizlikten elde edilen aralıkla aynı olmaz; böyle durumda çözüm yok veya verilen aralık yanlış olurdu.

  3. Neden x’i doğrudan izole ettik?
    Hedef aralık x cinsinden verildiği için önce x’i izole edip elde edilen uçları verilen aralığın uçlarıyla karşılaştırmak en hızlı yoldur.

Sonraki Adımlar

Çözümü adım adım daha ayrıntılı görmek ister misiniz? @1ozlemozyigit