3 + 7 + 11 + dots + 79 toplamının sonucunu bulunuz.
Aritmetik Dizi Toplamının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Terim Sayısı (n):\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
- Dizi Toplamı (S):\text{Toplam} = \left(\frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2}\right) \cdot \text{Terim Sayısı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Dizinin Özelliklerini Belirleme
Dizideki ardışık terimler arasındaki artış miktarı (r) sabittir.
- İlk Terim (a_1) = 3
- Son Terim (a_n) = 79
- Artış Miktarı (r) = 7 - 3 = 4
Adım 2 — Terim Sayısını Bulma
Toplanacak terimlerin sayısını belirlemek için terim sayısı formülünü uygulayalım:
n = \frac{79 - 3}{4} + 1
n = \frac{76}{4} + 1
n = 19 + 1 = 20
Dizide toplam 20 adet terim bulunmaktadır.
Adım 3 — Terimlerin Toplamını Hesaplama
Ortalama terim ile terim sayısını çarparak dizinin toplam değerini bulalım:
\text{Toplam} = \left(\frac{3 + 79}{2}\right) \cdot 20
\text{Toplam} = \left(\frac{82}{2}\right) \cdot 20
\text{Toplam} = 41 \cdot 20 = 820
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 820
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aritmetik Dizi: Ardışık terimleri arasındaki farkı her zaman eşit ve sabit olan sayı dizisidir (bu soruda her adımda 4 artmaktadır).
- Gauss Toplam Yöntemi: Terim sayısı ile dizinin aritmetik ortalamasının çarpımıyla toplamın pratik yoldan bulunmasını sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Terim sayısı hesaplanırken formülün sonundaki + 1 ifadesini eklemeyi unutmak (\frac{79-3}{4} = 19 alıp işlemi eksik yapmak).- Doğru Yaklaşım: Hem ilk hem de son terim toplama dahil olduğundan formüldeki + 1 değeri mutlaka eklenmelidir.
Bu kuralı pekiştirmek için benzer bir ardışık toplam sorusu çözmek ister misin?