Matematik Problemi: Üslü İfadelerin Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilenler: 3^a = 5 ve 5^b = 9
- İstenen: \left(3^{b-1}\right)^a ifadesinin sonucu
- Üslü ifadelerde kuvvetin kuvveti çarpılır: \left(x^m\right)^n = x^{mn}
- Üslü sayılar arasındaki bağıntı kullanılarak çözüm yapılır
\left(3^{b-1}\right)^a = 3^{a(b-1)} = 3^{ab - a} = 3^{ab} \cdot 3^{-a} = \frac{3^{ab}}{3^a}
Burada 3^a = 5 olarak verilmiş. 3^{ab} ifadesini 5^b cinsinden yazmaya çalışalım.
Bilinenler:
3^a = 5 \implies 3^{ab} = (3^a)^b = 5^b
Ayrıca 5^b = 9 verilmiş.
Yerine koyarsak:
\left(3^{b-1}\right)^a = \frac{3^{ab}}{3^a} = \frac{5^b}{5} = \frac{9}{5}
Yani ifadenin sonucu \frac{9}{5} olur.
Doğru cevap: C) \frac{9}{5}
Sonraki Adımlar
Benzer üslü ifadeler ve logaritma problemlerinde zorlanıyorsanız, logaritma taban değiştirme kurallarını detaylı inceleyelim ister misiniz?
3⁽ᵃ⁾ = 5 ve 5⁽ᵇ⁾ = 9 olduğuna göre (3^{b-1})^a ifadesinin sonucu kaçtır?
Temel Çıkarımlar
- a değeri: 3^a = 5 ⇒ a = log₃ 5
- b değeri: 5^b = 9 ⇒ b = log₅ 9
- ab çarpımı: (log₃ 5)(log₅ 9) = log₃ 9 = 2, dolayısıyla (3^{b–1})^a = 9/5
(3^{b-1})^a = 3^{a(b-1)} = 3^{ab – a} = 3^{2 – log₃ 5} = 9/5
İçindekiler
Çözüm Adımları
- 3^a = 5 ⇒ a = log₃ 5
- 5^b = 9 ⇒ b = log₅ 9
- ab = (log₃ 5)(log₅ 9) = log₃ 9 = 2
- (3^{b-1})^a = 3^{a(b-1)} = 3^{ab – a} = 3^{2 – log₃ 5}
- 3^{2 – log₃ 5} = 3² / 3^{log₃ 5} = 9 / 5
Üslü ve Logaritmik Özellikler
- Üslü ifadede üslerin çarpılması: (x^m)^n = x^{m n}.
- Logaritmada taban değişimi: \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}.
- Birbirinin tersi: b^{\log_b x} = x ve \log_b (b^x) = x.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Üslü İfade | Logaritmik İfade |
|---|---|---|
| Kuvvetin kuvveti | (x^m)^n = x^{m n} | – |
| Çarpımın logaritması | – | \log_b (MN) = \log_b M + \log_b N |
| Bölmenin logaritması | – | \log_b\!\Bigl(\frac{M}{N}\Bigr) = \log_b M - \log_b N |
| Üslü çarpım dönüşümü | x^m \cdot x^n = x^{m+n} | – |
| Üslü ve logaritmanın birleştirilmesi | (b^{\log_b x}) = x | \log_b (b^x) = x |
Özet Tablosu
| İfade | Eşitlik | Sonuç |
|---|---|---|
| 3^a = 5 | a = log₃ 5 | – |
| 5^b = 9 | b = log₅ 9 | – |
| ab | (log₃ 5)(log₅ 9) = log₃ 9 | 2 |
| (3^{b-1})^a | 3^{ab – a} = 3^{2 – log₃ 5} | 9/5 |
SSS
- Üslü bir ifadenin üssü nasıl çarpılır?
- (x^m)^n = x^{m n} formülü kullanılır.
- Logaritmada taban değişimi nasıl yapılır?
- \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} özelliğiyle istenen tabana geçilir.
- ab = 2 nasıl bulunur?
- ab = (log₃ 5)(log₅ 9) = log₃ 9 = 2.
- 3^{2 – log₃ 5} ifadesi nasıl sadeleştirilir?
- 3^{2 – log₃ 5} = 3² / 3^{log₃ 5} = 9/5.
Bu konuyla ilgili daha fazla üslü ve logaritmik soru çözmek ister misiniz?
@Selin_Yildirim1