\sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{15}, \sqrt{18} ve \sqrt{24} sayıları aşağıdaki karelere her kareye bir sayı gelecek şekilde yerleştirilip çarpma işlemleri yapılacaktır.
square \times square \times square = A
A ve B rasyonel sayılar olduğuna göre, kareye yerleştirilmeyen sayı kaçtır?
A) \sqrt{24}
B) \sqrt{18}
C) \sqrt{6}
D) \sqrt{4}
E) \sqrt{3}
Köklü İfadelerde Çarpma ve Rasyonel Sayı Elde Etme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}
- Bir köklü ifadenin rasyonel sayı olabilmesi için kök içerisindeki sayının tam kare olması (yani asal çarpanlarının kuvvetlerinin çift sayı olması) gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tüm sayıların çarpımını asal çarpanlar yardımıyla bulma
Verilen 7 sayının tamamını kök içine alıp çarpımını hesaplayalım:
T = \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{24}
Kök içindeki sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
- 3 = 3^1
- 4 = 2^2
- 5 = 5^1
- 6 = 2^1 \cdot 3^1
- 15 = 3^1 \cdot 5^1
- 18 = 2^1 \cdot 3^2
- 24 = 2^3 \cdot 3^1
Tüm sayıların kök içi çarpımı:
2^{2+1+1+3} \cdot 3^{1+1+1+2+1} \cdot 5^{1+1} = 2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^2
Bu çarpımı kök dışına çıkaralım:
T = \sqrt{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^2} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot \sqrt{2} = 1080\sqrt{2}
Adım 2 — Dışarıda kalacak sayının kök yapısını belirleme
Kutulara yerleştirilen 6 sayının üçerli grupları A ve B rasyonel sayılardır. İki rasyonel sayının çarpımı (A \cdot B) da mutlaka bir rasyonel sayı olmak zorundadır.
Dışarıda kalan sayı x olsun:
A \cdot B = \frac{T}{x} = \frac{1080\sqrt{2}}{x} \in \mathbb{Q}
Bu sonucun rasyonel sayı olabilmesi için x sayısının köklü kısmının yalnızca \sqrt{2} içermesi gerekir (x = k\sqrt{2}).
Verilen sayıları sade biçimde yazalım:
- \sqrt{3} = \sqrt{3}
- \sqrt{4} = 2
- \sqrt{5} = \sqrt{5}
- \sqrt{6} = \sqrt{6}
- \sqrt{15} = \sqrt{15}
- \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \rightarrow (Yalnızca \sqrt{2} barındırır)
- \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
Bu koşulu sağlayan tek sayı \sqrt{18}'dir.
Adım 3 — Sağlama (Grupları oluşturma)
\sqrt{18} dışarıda bırakıldığında kalan sayılar: \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{15}, \sqrt{24}
- 1. Grup (A): \sqrt{3} \times \sqrt{5} \times \sqrt{15} = \sqrt{225} = 15 (Rasyonel)
- 2. Grup (B): \sqrt{4} \times \sqrt{6} \times \sqrt{24} = 2 \times \sqrt{144} = 2 \times 12 = 24 (Rasyonel)
Koşul tam olarak sağlanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \sqrt{18}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Rasyonel Çarpım: Kök dereceleri aynı olan irrasyonel sayıların çarpımının rasyonel olması için kök içi çarpanlarının eşlenik/tam kare oluşturması gerekir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sayıları tek tek rastgele deneyerek kutulara yerleştirmeye çalışmak çok fazla vakit kaybettirir.- Doğru Yaklaşım: Bütün sayıların çarpımını inceleyip rasyonelliği bozan tekil irrasyonel çarpanı (\sqrt{2}) tespit etmek doğrudan sonuca ulaştırır.
Benzer mantıkta bir TYT köklü sayı sorusu daha çözerek pratik yapmak ister misin?