2x³ - x²y + 4x - 2y = 0 olduğuna göre, (x+y)/y oranı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 23.8 KB

2

Çarpanlara Ayırma Konulu Sorunun Çözümü: 17. Soru

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: 2x^3 - x^2 y + 4x - 2y = 0
  • Amaç: \frac{x + y}{y} oranını bulmak
  • Denklemdeki terimler hem x hem y değişkenlerini içeriyor
  • Sorunun çözümü cebirsel manipülasyon ve oran ilişkilerine dayanıyor

İçindekiler

  1. Verilen Denklemin İncelenmesi
  2. Oranın Bulunması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Çarpanlara Ayırma Teknikleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Denklemin İncelenmesi

Verilen denklem:

2x^3 - x^2 y + 4x - 2y = 0

Burada ortak terimler değil, terimler içinde farklı güçte x ve y değişkenleri var. Öncelikle terimleri gruplandırıp faktör ayırmak mantıklı.

Adım adım inceleyelim:

2x^3 - x^2 y + 4x - 2y = 0

Bu denklemi şu şekilde iki grup olarak ele alalım:

(2x^3 - x^2 y) + (4x - 2y) = 0

Her gruptan ortak çarpanı alalım:

  • İlk grup: x^2 ortak çarpan
x^2(2x - y)
  • İkinci grup: 2 ortak çarpan
2(2x - y)

Şimdi, ifade şu hale gelir:

x^2(2x - y) + 2(2x - y) = 0

Bundan sonra ortak çarpanı çıkaralım:

(2x - y)(x^2 + 2) = 0

Burada x^2 + 2 \neq 0 çünkü x^2 pozitif ve 2 pozitif, toplamı asla sıfır olmaz.

Dolayısıyla denklemin sıfır olması için:

2x - y = 0

veya

y = 2x

2. Oranın Bulunması

Soruda istenen ifade:

\frac{x + y}{y}

Yerine, y = 2x koyarsak:

\frac{x + 2x}{2x} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}

Yani aranan oran \frac{3}{2}.

3. Karşılaştırma Tablosu: Çarpanlara Ayırma Teknikleri

Teknik Uygulama Alanı Örnek Durum
Ortak Çarpan Paranteze Alma Terimlerin ortak çarpanı varsa 2x^3 - x^2 y + 4x - 2y
Grup Halinde Çıkarma Terimler farklı gruplar halinde Yukarıdaki örnek
İkinci Dereceden Faktör Polinomlarda kök veya çarpan bulma x^2 - 5x + 6 = 0
İkili Çarpanlama İki ifadenin çarpımı şeklinde yazmak (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

4. Özet Tablo

Element Detay
Verilen Denklem 2x^3 - x^2 y + 4x - 2y=0
Çözüm Yolu Ortak çarpan paranteze alma, grup bazlı faktör
Bulunan İfade y = 2x
Sorulan Oran \frac{x+y}{y} = \frac{3}{2}
Sonuç \frac{3}{2} (C şıkkı)

5. Sık Sorulan Sorular

1. Ortak çarpan paranteze alma nedir?
Ortak çarpan, terimlerin hepsinde bulunan sayısal veya değişken bir ifadedir. Ortak çarpan alınarak ifadeyi sadeleştirmek veya kolayca faktörlere ayırmak mümkündür.

2. Neden x^2 + 2 = 0 denklemi sıfır olamaz?
Çünkü x^2 her zaman sıfır veya pozitif bir sayıdır, ve +2 eklendiğinde toplam negatif olamaz. Gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur.

3. Grup bazlı faktörleme nedir?
Terimler belirli gruplara ayrılır ve her gruptan ortak çarpan alınır, ardından ortak çarpanlar kullanılarak faktörleme yapılır.

Sonraki Adımlar

Bu yöntemi anlamak için size şöyle önerilerim olabilir:

  1. Grup bazlı çarpanlara ayırma ile ilgili daha fazla örnek ister misiniz?
  2. İkinci dereceden polinomların faktörlerine ayrılmasını karşılaştırmalı olarak inceleyelim mi?
  3. Çarpanlara ayırma ile ilgili pratik sorular içeren bir çalışma seti hazırlamamı ister misiniz?

@Tugce_Soylu

3

2x³ - x²y + 4x - 2y = 0 olduğuna göre, (x+y)/y oranı kaçtır?

Önemli Çıkarımlar

  • Gruplama yöntemi ile ifade (2x^3 + 4x) - (x^2y + 2y) biçiminde ayrılıp
    (2x - y)(x^2 + 2) = 0 elde edilir.
  • x^2 + 2 > 0 olduğu için 2x - y = 0 ve dolayısıyla y = 2x.
  • Bu durumda
    \frac{x + y}{y} \;=\;\frac{x + 2x}{2x}\;=\;\frac{3x}{2x}\;=\;\mathbf{\tfrac{3}{2}}.

Denklem gruplama yöntemiyle (2x - y)(x^2 + 2)=0 formuna dönüştürülür; x^2+2>0\Rightarrow y=2x ve oran 3/2’dir.

İçindekiler

  1. Denklemin Çarpanlara Ayrılması
  2. Oranın Hesaplanması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Denklem Çarpanlara Ayrılması

Gruplama yöntemi şu adımlarla uygulanır:

  1. İfadeyi iki parçaya ayırın:
    2x^3 + 4x \quad\text{ve}\quad -\,\bigl(x^2y + 2y\bigr).
  2. Her iki grupta ortak çarpanları çıkarın:
    2x(x^2 + 2)\;-\;y(x^2 + 2)\;=\;(2x - y)\,(x^2 + 2).
  3. Çarpanlardan biri sıfıra eşitlenerek çözüm bulunur.

Oranın Hesaplanması

  • Çarpanlardan x^2+2=0 gerçek kök vermez (her zaman pozitif).
  • Diğer çarpan 2x - y = 0 \Rightarrow y=2x.
  • O halde
    \frac{x + y}{y} = \frac{x + 2x}{2x} = \frac{3}{2}.

Karşılaştırmalı Çarpan Ayırma Yöntemleri

Yöntem Uygulama Alanı Avantaj Dezavantaj
Ortak Çarpan ax + ay, bx - by Çok basit ifadelerde hızlı Karmaşık polinomlara uyumsuz
Gruplama 2x^3 - x^2y + 4x - 2y gibi Daha genel, 4 terimli ve üzeri Bazen uygun gruplama bulunması zor

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. Gruplama (2x^3 + 4x) - (x^2y + 2y) (2x - y)(x^2 + 2)
2. Kök Bulma x^2 + 2 > 0 2x - y = 0 \Rightarrow y=2x
3. Oran Hesabı (x+y)/y 3/2

SSS

  • Gruplama yöntemi nedir?
    Bir polinomu iki veya daha fazla gruba ayırıp her grupta ortak çarpan alarak çarpanlara ayırma tekniğidir.
  • Neden x^2+2=0 seçeneği ele geçti?
    x^2+2 ifadesi tüm gerçek sayılarda pozitiftir, sıfır olamaz.
  • Başka nasıl çarpan ayırma yöntemleri var?
    Ortak çarpan, tam kare üç terim, farklar farkı gibi yöntemler bulunur.
  • (x+y)/y oranı her zaman bu şekilde mi bulunur?
    Eşitlikten elde edilen y ilişkisinin doğruluğuna bağlıdır.

Başka bir gruplama yöntemi gerektiren denklem üzerinde adım adım çözüm görmek ister misiniz?
@Tugce_Soylu