2^{x - 1} = a olduğuna göre 8^{x + 1} ifadesini a türünden yazınız.
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
A) \sqrt{10} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}
B) \frac{\sqrt[5]{125}}{\sqrt[5]{5}}
C) \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}}
3\sqrt{96} + 2\sqrt{150} = a\sqrt{24} olduğuna göre a değerini bulunuz.
Üslü ve Köklü İfadelerde Sadeleştirme ve Değişken Dönüşümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üslü ifadelerde x^{m+n} = x^m \cdot x^n ve (x^m)^n = x^{m \cdot n} kuralları kullanılır. Köklü sayılarda ise kök dereceleri aynı olan ifadeler tek bir kök altında çarpılıp bölünebilir: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} ve \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}. Farklı dereceli kökler üslü sayıya dönüştürülerek (\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}) sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. Soru — 8^{x + 1} İfadesini a Türünden Yazma
Verilen eşitlikte 2^x yalnız bırakılır:
2^{x - 1} = \frac{2^x}{2} = a \implies 2^x = 2a
İstenen ifade 2^x tabanında açılır:
8^{x + 1} = 8^x \cdot 8^1 = (2^3)^x \cdot 8 = (2^x)^3 \cdot 8
2^x = 2a değeri yerine yazılır:
(2a)^3 \cdot 8 = 8a^3 \cdot 8 = 64a^3
3. Soru — Köklü İşlemlerin Sonuçları
- a) \sqrt{10} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}:
Kök dereceleri eşit (karekök) olduğu için terimler aynı kök içinde çarpılır:
\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}
- b) \frac{\sqrt[5]{125}}{\sqrt[5]{5}}:
Kök dereceleri aynı olduğundan tek bir 5. dereceden kök altında bölünür:
\sqrt[5]{\frac{125}{5}} = \sqrt[5]{25} \quad \left(\text{veya } 5^{2/5}\right)
- c) \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}}:
İçinde 2 tabanı bulunan ifadeler rasyonel üs biçiminde düzenlenir:
\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}} = \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{2 - 1}{6}} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2}
Böylece ifadenin pay ve paydası sadeleştiğinde geriye kalan değer:
\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt{3} \cdot 2^{1/6} = \sqrt[6]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[6]{54} \quad \left(\text{veya } \sqrt{3}\sqrt[6]{2}\right)
4. Soru — Katsayı a Değerini Bulma
Verilen eşitlik: 3\sqrt{96} + 2\sqrt{150} = a\sqrt{24}
Kök içindeki sayılar ortak çarpan olan 6 cinsinden dışarı çıkarılır:
- \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \implies 3\sqrt{96} = 3 \cdot 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6}
- \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} \implies 2\sqrt{150} = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}
- \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}
Sol taraf toplanıp eşitlenir:
12\sqrt{6} + 10\sqrt{6} = a \cdot 2\sqrt{6}
22\sqrt{6} = 2a\sqrt{6} \implies 2a = 22 \implies a = 11
CEVAP:
- 1. Soru: 64a^3
- 3. Soru:
- a) 5\sqrt{6}
- b) \sqrt[5]{25}
- c) \sqrt{3}\sqrt[6]{2} (veya \sqrt[6]{54})
- 4. Soru: a = 11
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için hem kök derecesi hem de kök içi aynı olmalıdır. İfadeleri en sade biçimlerine (k\sqrt{x}) indirgemek işlem hatasını önler.
@Akademik_Rehber c bölümünü anlamadım
3. sorunun c şıkkını iki farklı ve çok kolay yoldan adım adım inceleyelim:
İfade:
\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}}
1. Yol: Kök Derecelerini Eşitleme (En Kolay Yol)
İşlemdeki köklerin derecelerine bakalım:
- \sqrt{3} ifadesinde kök derecesi 2’dir.
- \sqrt[3]{2} ifadesinde kök derecesi 3’tür.
- \sqrt[6]{2} ifadesinde kök derecesi 6’dır.
Bu sayıların (2, 3, 6) en küçük ortak katı (EKOK) 6’dır. Hepsini 6. dereceden kök yapalım:
-
\sqrt{3} kökünü 6 yapmak için: Kök derecesini ve içerideki sayının üssünü 3 ile çarparız:
\sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} -
\sqrt[3]{2} kökünü 6 yapmak için: Kök derecesini ve içerideki sayının üssünü 2 ile çarparız:
\sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4} -
Payda: Zaten \sqrt[6]{2} şeklindedir.
Artık tüm kök dereceleri eşit olduğuna göre hepsini tek bir büyük kök altında yazabiliriz:
\frac{\sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{4}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{27 \cdot 4}{2}}
İçerideki sadeleştirmeyi yapalım (4 \div 2 = 2):
= \sqrt[6]{27 \cdot 2} = \mathbf{\sqrt[6]{54}}
2. Yol: Sadece Tabanı 2 Olanları Sadeleştirme
Önce tabanı aynı olan \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}} kısmını sadeleştirelim. Kökleri üslü sayıya çevirelim:
- \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}
- \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}
Bölme işleminde tabanlar aynıysa payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{6}}} = 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{2}
Başta kenarda duran \sqrt{3} ile bulduğumuz bu sonucu çarparsak:
= \mathbf{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{2}}
(Not: \sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{2} ile \sqrt[6]{54} tamamen aynı sayıdır, testlerde iki şekilde de karşınıza çıkabilir.)
@Akademik_Rehber yalnız bunlar sınavda çıkacak
Sınavda öğretmenlerin puan kırabileceği hiçbir boşluk bırakmadan, yazılı kağıdına yazman gereken tam puanlık çözüm adımları şöyledir:
Soru 1: 2^{x - 1} = a olduğuna göre 8^{x + 1} ifadesini a türünden yazınız.
Kağıda yazılacak çözüm:
- Verilen eşitlikte 2^x yalnız bırakılır:2^{x - 1} = a \implies \frac{2^x}{2} = a \implies 2^x = 2a
- İstenen ifade 2^x tabanına dönüştürülür:8^{x + 1} = 8^x \cdot 8^1 = (2^3)^x \cdot 8 = (2^x)^3 \cdot 8
- 2^x yerine 2a yazılır:(2a)^3 \cdot 8 = 8a^3 \cdot 8 = \mathbf{64a^3}
Soru 3: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) \sqrt{10} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}
- Kök dereceleri eşit olduğundan tek kök içinde çarpılır:\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \mathbf{5\sqrt{6}}
b) \frac{\sqrt[5]{125}}{\sqrt[5]{5}}
- Kök dereceleri eşit olduğundan tek kök içinde bölünür:\sqrt[5]{\frac{125}{5}} = \mathbf{\sqrt[5]{25}}
c) \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{2}}
(Öğretmenlerin sınavda en çok puan verdiği yöntem kök derecelerini EKOK(2, 3, 6) = 6’da eşitlemektir):
- \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}
- \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4}
- Payda zaten \sqrt[6]{2} olduğundan tüm ifade tek bir 6. dereceden köke alınır:\sqrt[6]{\frac{27 \cdot 4}{2}} = \sqrt[6]{\frac{108}{2}} = \mathbf{\sqrt[6]{54}}
Soru 4: 3\sqrt{96} + 2\sqrt{150} = a\sqrt{24} olduğuna göre a değerini bulunuz.
Kağıda yazılacak çözüm:
- Kök içleri ortak çarpan olan 6 kalacak şekilde kök dışına çıkarılır:
- \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \implies 3\sqrt{96} = 3 \cdot 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6}
- \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} \implies 2\sqrt{150} = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}
- \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}
- Değerler denklemde yerine yazılır:12\sqrt{6} + 10\sqrt{6} = a \cdot 2\sqrt{6}22\sqrt{6} = 2a\sqrt{6}
- Her iki taraf \sqrt{6} ile sadeleştirilir:22 = 2a \implies \mathbf{a = 11}
Sınav Tüyosu: 1. soruda (2a)^3 alırken parantez kullanmayı unutma; 2a^3 yazarsan işlem hatasından puan kırılır, doğrusu 8a^3 olmalıdır. 3(c) şıkkında ise kök derecelerini 6’ya genişlettiğini mutlaka açıkça göster.