2x² + (a + 2)x + a = 0 denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, a kaçtır?
Önemli Noktalar
- Denklemin kökü 2 verilmiş, yani x=2 değerini yerine koyduğumuzda denklemin sonucu sıfır olmalı.
- Denklemde a bilinmeyen, bu değeri bulmak için kök denkleme yazılıp çözüm yapılacak.
- Birinci derece değil, ikinci derece denklemdir.
Çözüm
Denklem:
2x^2 + (a + 2)x + a = 0
Bir kökü x = 2 olduğuna göre; denkleme 2 yazalım:
2(2)^2 + (a + 2)(2) + a = 0
2 \times 4 + 2a + 4 + a = 0
8 + 2a + 4 + a = 0
12 + 3a = 0
Buradan:
3a = -12 \implies a = -4
Cevap: C) -4
Sonraki Adımlar
Başka denklemlerle ilgili sorularda adım adım çözüme ihtiyacınız var mı? Ya da bu tip kök problemlerini daha genel formüllerle açıklamamı ister misiniz?
2x² + (a+2)x + a = 0 denkleminin bir kökü 2 ise, a kaçtır?
Anahtar Noktalar:
- Bir denkleme kök verildiğinde, kökü yerine koyarak bilinmeyeni çözebiliriz.
- x=2 değerini denklemde yerine yazıp denklemi 0’a eşitlemeliyiz.
- Elde edilen denklemi çözüp a değerini buluruz.
Doğrudan Cevap: a = –4
İçindekiler:
Çözüm Adımları
Denkleme x=2 kökü verildiğine göre,
2\cdot2^2+(a+2)\cdot2+a=0.
- 2\cdot2^2=8
- (a+2)\cdot2=2a+4
- Toplayarak: 8+(2a+4)+a=0\;\Rightarrow\;12+3a=0
- 3a=-12\;\Rightarrow\;a=-4
Metot Karşılaştırması
| Metot | Açıklama | Avantaj/Dezavantaj |
|---|---|---|
| Yerine Koyma | Verilen kök denkleme yazılır ve a çözülür. | Basit ve hızlı, yalnızca tek kök için uygundur. |
| Viète Formülleri | Kökler toplamı: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, kökler çarpımı: x_1x_2=\frac{c}{a} | Birden fazla kök durumunda genel çözüm sunar. |
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Kök Yerine Koyma | 2\cdot2^2+(a+2)\cdot2+a=0 | 12+3a=0 |
| a’nın Çözümü | 3a=-12\;\Rightarrow\;a=-4 | a=-4 |
SSS
Soru: Bu denklemin diğer kökünü nasıl buluruz?
Cevap: Viète’ye göre x_1x_2=\frac{c}{a}. Burada x_1=2, a=-4 iken 2x_2=\frac{-4}{2}=-2\;\Rightarrow\;x_2=-1.
Soru: Viète formüllerini genel olarak nasıl kullanırız?
Cevap: ax^2+bx+c=0 denkleminde
- x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}
- x_1x_2=\tfrac{c}{a}
Soru: Denklem bir kökü 3 olsaydı ne yapardık?
Cevap: Yine $x=3$’ü denkleme koyup $a$’yı çözeriz.
Bu yöntemi pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misiniz?