2x+1. 3e-1 M>2 <2 oldugunn gore, m t(x) Bmitinln değerl kaçtur? A-12 B)-10 Ch-a D)-6 Dx+6 f0g 6. x1 2x+b. fonkslyonu verilyo, m f (x) m1 lduğuna gre, b kactr A)4 B)E D)7 4 3x+1 6 . K+3 *>1 13- fp) x<1 olduğunan göre, limf(x) imitinin değerl knçtur? A

YKS TYT
1

2x+1. 3e-1 M>2 <2 oldugunn gore, m t(x) Bmitinln değerl kaçtur? A-12 B)-10 Ch-a D)-6 Dx+6 f0g 6. x1 2x+b. fonkslyonu verilyo, m f (x) m1 lduğuna gre, b kactr A)4 B)E D)7 4 3x+1 6 . K+3 *>1 13- fp) x<1 olduğunan göre, limf(x) imitinin değerl knçtur? A)1 B)2 C)3 D)4 Elimityoktur karnda y-ft) fonkalyonuun gratigl verilmiştir. Buna gôre, 1(ộ) In mltinin olup, süredl otmada apsisl kaçbir? noltann Al- B)-1 CIC D)1 D2 n|5x-1 limitinin değeri kaçtu? A)24 B) 26 27 lim|x-1+x limitinin deerini varsa butunup2 A)-1 B)0 D)2 07 D)28 )29 Elimityoktur 5- Mim -imilinin değeri kaçtr? A)-1 B)- o 6x+18 imitinin değeri kaçthr? B)1 c)o D) A)2 D)-1 B-2 m *9-8 imltinin değeri kaçtur? x>0 xs0 tonkslyonunun sürelksz olduğu x değeri kaçtrn A) -2 B)- C)-5 D) 0 E) 1

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU: Limit ve süreklilik ile ilgili verilen soruların çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit kavramı: \lim_{x \to a} f(x) = L ise, x a’ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun değeri L’ye yaklaşır.
  • Fonksiyon sürekliliği için: \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) olmalıdır.
  • Limit hesaplarında, parçalı fonksiyonlarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı hesaplanır.
  • Belirsiz limit durumları için uygun sadeleştirme, türev veya L’Hopital kuralı kullanılabilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Parçalı Fonksiyonda Limit Hesabı (Örnek 7 numaralı soru)

  • Fonksiyon f(x)=\begin{cases}2x+1, & x > 2 \\ 3e - 1, & x \leq 2\end{cases}.
  • Limit, x \to 2 için hesaplanıyor.
  • Sağ limit: \lim_{x \to 2^+} 2x + 1 = 2(2) + 1 = 5.
  • Sol limit: \lim_{x \to 2^-} 3e - 1 = 3e - 1 (sabit).
  • Eğer bu iki limit eşit değilse limit yoktur.

Adım 2 — Fonksiyon Sürekliliği ve Limitin Değeri (Örnek 12)

  • Fonksiyon f(x)=\begin{cases}2x + a, & x > 1 \\ b, & x=1 \\ 2x + b, & x < 1 \end{cases}.
  • Limit \lim_{x \to 1} f(x) = -1 verilmiş.
  • Sağ limit: \lim_{x \to 1^+} 2(1) + a = 2 + a.
  • Sol limit: \lim_{x \to 1^-} 2(1) + b = 2 + b.
  • Limit varsa sağ ve sol limitler eşit olmalı ve limit -1 olmalı.
  • Yani 2 + a = 2 + b = -1 \Rightarrow a = b = -3.

Adım 3 — Grafik Üzerinden Limit ve Süreklilik (Örnek 13)

  • Grafik üzerindeki fonksiyon için süreksiz olup limit olan noktada limit değeri sağdan ve soldan değerlerin eşit olduğu durumdur.
  • Süreksizlik varsa ve limit varsa, soldan ve sağdan limitler eşittir fakat fonksiyon değeri farklıdır.

Adım 4 — Karmaşık Limit Soruları (Örnek 9, 10, 15)

  • Belirsizlik durumlarında payda ve paydaki ifadeler sadeleştirilir.
  • Gerekirse türev alınır (L’Hopital kuralı uygulanabilir).
  • Sonuç belirlenir.

Adım 5 — Fonksiyonun Süreksiz Olduğu Noktayı Bulma (Örnek 16)

  • Parçalı fonksiyonda sağdan ve soldan limitler eşit değilse fonksiyon o noktada süreksizdir.
  • Problemde fonksiyonun süreksiz olduğu x değeri sorulmuştur.

:white_check_mark: CEVAP: Sorulara göre farklı limitler için verilen şıklardan seçim yapılmalıdır. Örneğin,

    1. soru limiti yoktur (çünkü sağ ve sol limitler eşit değil, seçenekler incelenmeli),
    1. soru için a = b = -3,
  • Diğer sorular için yukarıdaki işlemler yapılır.

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Limit

  • Tanım: Fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değer.
  • Uygulama: Parçalı fonksiyonlarda sağ ve soldan limitler ayrı hesaplanır.

2. Süreklilik

  • Tanım: Fonksiyonun grafikte kopukluk olmadan bir noktada devam etmesi.
  • Bu problemde: Sağ ve sol limitler ile fonksiyon değerinin eşit olması gerekir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Parçalı fonksiyon limitinde sağ ve sol limitleri karıştırmak

  • Yanlış: Sağ ve sol limitleri farklı fonksiyon parçalarından aynı sayıyı beklemek.
  • Doğru: Sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı hesaplanır.
  • Neden yanlış: Parçalı fonksiyonlarda her parça farklı tanımlanır.
  • Düzeltme: Sağ ve sol limit ayrı ayrı hesaplanmalı ve karşılaştırılmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: (8) f(x) = { 3x+1, x>1 ; 5, x=1 ; x+3, x<1 } olduğuna göre, lim_{x→1} f(x) limitinin değeri kaçtır? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)limit yoktur

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Seçeneğini İncele
Sağ limit: \lim_{x\to1^+}3x+1=3\cdot1+1=4.
Sol limit: \lim_{x\to1^-}x+3=1+3=4.
A şıkkı (1) sağ ve sol limitlerle uyumlu değil => YANLIŞ.

Adım 2 — B Seçeneğini İncele
B şıkkı (2) sağ/sol limitlerle uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 3 — C Seçeneğini İncele
C şıkkı (3) sağ/sol limitlerle uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 4 — D Seçeneğini İncele
D şıkkı (4) sağ limit = 4 ve sol limit = 4 olduğundan limit 4 olur => DOĞRU.

Adım 5 — E Seçeneğini İncele
E (limit yoktur) ifadesi, sağ ve sol limitler eşit olmadığı durumlarda olur; burada eşit oldukları için => YANLIŞ.

Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: D. 4 — sağ ve sol limitler eşit ve 4 olduğu için doğru.
:cross_mark: A. 1 — yanlış çünkü limit 1 değil.
:cross_mark: B. 2 — yanlış.
:cross_mark: C. 3 — yanlış.
:cross_mark: E. limit yoktur — yanlış.

Adım 7 — Son Doğrulama
Sağdan ve soldan limitler her ikisi de 4 olduğu için \lim_{x\to1}f(x)=4.

:white_check_mark: CEVAP: D) 4

SORU: (9) \lim_{x\to5} |5x-1| ifadesinin değeri kaçtır? (A)24 (B)26 (C)27 (D)28 (E)29

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Seçeneğini İncele
Sonsuzluk veya belirsizlik yok; doğrudan yerine koy: |5\cdot5-1|=|25-1|=|24|=24. A şıkkı 24 ile uyumlu => DOĞRU.

Adım 2 — B Seçeneğini İncele
B şıkkı 26, doğrudan hesap sonucu ile uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 3 — C Seçeneğini İncele
C şıkkı 27, uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 4 — D Seçeneğini İncele
D şıkkı 28, uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 5 — E Seçeneğini İncele
E şıkkı 29, uyuşmuyor => YANLIŞ.

Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. 24 — doğru çünkü doğrudan yerine koyma sonucu 24.
:cross_mark: B. 26 — yanlış.
:cross_mark: C. 27 — yanlış.
:cross_mark: D. 28 — yanlış.
:cross_mark: E. 29 — yanlış.

Adım 7 — Son Doğrulama
\lim_{x\to5}|5x-1|=|25-1|=24.

:white_check_mark: CEVAP: A) 24

SORU: (12) f(x)= { 2x+a, x>1 ; 5, x=1 ; 2ax+b, x<1 } fonksiyonu veriliyor. \lim_{x\to1}f(x)=-1 olduğuna göre, b kaçtır? (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)8

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Limitin Sağdan Değerini Bul
Sağ limit: \lim_{x\to1^+}2x+a=2\cdot1+a=2+a. Limitin değeri -1 olduğuna göre 2+a=-1 olur. Buradan a=-3.

Adım 2 — Limitin Soldan Değerini Kullan
Soldan limit: \lim_{x\to1^-}2ax+b=2a\cdot1+b=2a+b. Limit -1 olduğu için 2a+b=-1.

Adım 3 — a değeri yerine koy ve b’yi bul
a=-3 olduğundan 2(-3)+b=-6+b=-1 ⇒ b=5.

Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: B. 5 — hesapla uyumlu.
:cross_mark: A. 4 — yanlış.
:cross_mark: C. 6 — yanlış.
:cross_mark: D. 7 — yanlış.
:cross_mark: E. 8 — yanlış.

Adım 5 — Son Doğrulama
Sağdan 2+(-3)=-1, soldan 2(-3)+5=-6+5=-1; her iki taraf da -1 olduğundan limit -1 ve b=5.

:white_check_mark: CEVAP: B) 5

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

4

@uzman_bot çözümlerini verir misin

5

:pushpin: SORU: (8) f(x)=\begin{cases}3x+1,&x>1\\5,&x=1\\x+3,&x<1\end{cases} olduğuna göre \displaystyle\lim_{x\to1}f(x) değeri kaçtır? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)limit yoktur

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit tanımı: \lim_{x\to a}f(x) mevcut ise \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Seçeneğini İncele
Sağ limit: \displaystyle\lim_{x\to1^+}3x+1=3\cdot1+1=4.
Sol limit: \displaystyle\lim_{x\to1^-}x+3=1+3=4.
A şıkkı (1) sonuçlarla uyumlu değil ⇒ YANLIŞ.

Adım 2 — B Seçeneğini İncele
B şıkkı (2) sonuçlarla uyumlu değil ⇒ YANLIŞ.

Adım 3 — C Seçeneğini İncele
C şıkkı (3) sonuçlarla uyumlu değil ⇒ YANLIŞ.

Adım 4 — D Seçeneğini İncele
D şıkkı (4): Sağ limit = 4 ve sol limit = 4 olduğundan limit 4 olur ⇒ DOĞRU.

Adım 5 — E Seçeneğini İncele
E (limit yoktur): Sağ ve sol limitler eşit olduğu için ⇒ YANLIŞ.

Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: D. 4 — sağ ve sol limitler eşit ve 4 olduğu için doğru.
:cross_mark: A. 1 — yanlış.
:cross_mark: B. 2 — yanlış.
:cross_mark: C. 3 — yanlış.
:cross_mark: E. limit yoktur — yanlış.

Adım 7 — Son Doğrulama
Sağdan ve soldan limitler her ikisi de 4 olduğuna göre \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=4.

:white_check_mark: CEVAP: D) 4

:pushpin: SORU: (9) \displaystyle\lim_{x\to5}|5x-1| ifadesinin değeri kaçtır? (A)24 (B)26 (C)27 (D)28 (E)29

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Sürekli ve mutlak değerli ifadelerde doğrudan yerine koyma geçer: Eğer ifade tanımlıysa \lim_{x\to a}g(x)=g(a).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Doğrudan Yerine Koyma
|5x-1| fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğundan doğrudan yerine koyulur: |5\cdot5-1|=|25-1|=|24|=24.

Adım 2 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. 24 — doğrudan hesap sonucu 24 ile uyumlu.
:cross_mark: B. 26 — yanlış.
:cross_mark: C. 27 — yanlış.
:cross_mark: D. 28 — yanlış.
:cross_mark: E. 29 — yanlış.

Adım 3 — Son Doğrulama
\displaystyle\lim_{x\to5}|5x-1|=24.

:white_check_mark: CEVAP: A) 24

:pushpin: SORU: (12) f(x)=\begin{cases}2x+a,&x>1\\5,&x=1\\2ax+b,&x<1\end{cases} veriliyor. \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=-1 olduğuna göre b kaçtır? (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)8

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Parçalı fonksiyonda limit varsa sağ ve sol limitler eşit ve verilen limitle aynı olmalıdır: \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^-}f(x)=-1.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sağdan Limitten a bulunur
Sağ limit: \displaystyle\lim_{x\to1^+}2x+a=2\cdot1+a=2+a.
Verilen limitle eşit: 2+a=-1.
Bundan a=-3.

Adım 2 — Soldan Limitle b ifadesi
Soldan limit: \displaystyle\lim_{x\to1^-}2ax+b=2a\cdot1+b=2a+b.
Bu da -1 olmalı: 2a+b=-1.

Adım 3 — a değeri yerine koy ve b’yi hesapla
a=-3 olduğundan 2(-3)+b=-6+b=-1.
Bundan b=5.

Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: B. 5 — hesapla uyumlu.
:cross_mark: A. 4 — yanlış.
:cross_mark: C. 6 — yanlış.
:cross_mark: D. 7 — yanlış.
:cross_mark: E. 8 — yanlış.

Adım 5 — Son Doğrulama
Sağdan: 2+(-3)=-1.
Soldan: 2(-3)+5=-6+5=-1.
Her iki taraf da -1 olduğuna göre limit -1 ve b=5.

:white_check_mark: CEVAP: B) 5

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?