\frac{2os^{4}x + \sin^{2}(2x) + 2\sin^{4}x}{2os^{4}x - 2\sin^{4}x} ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \sin(2x)
B) os(2x)
C) \sec(2x)
D) cosec(2x)
E) \tan(2x)
Trigonometrik Özdeşlikler ve Yarım Açı Sadeleştirmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bu soruda sinüs yarım açı formülü (\sin(2x) = 2\sin x \cos x), temel trigonometrik özdeşlik (\cos^2 x + \sin^2 x = 1) ve kosinüs iki kat açı açılımı (\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x) kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Pay İfadesinin Düzenlenmesi
Pay kısmındaki \sin^2(2x) terimini yarım açı formülüyle açıp ifadeyi 2 ortak parantezine alalım:
\sin^2(2x) = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x
Pay ifadesi:
2\cos^4 x + 4\sin^2 x \cos^2 x + 2\sin^4 x = 2\left(\cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x\right)
Parantez içi (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 tam karesi olduğundan:
2\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right)^2 = 2(1)^2 = 2
Adım 2 — Payda İfadesinin Çarpanlara Ayrılması
Paydayı 2 ortak parantezine alıp iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım:
2\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right) = 2\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right)\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right)
\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ve \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) olduğundan:
2 \cdot \cos(2x) \cdot 1 = 2\cos(2x)
Adım 3 — Oranın Hesaplanması
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayalım:
\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{2}{2\cos(2x)} = \frac{1}{\cos(2x)} = \sec(2x)
CEVAP: C) \sec(2x)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: \sin^2(2x) ifadesinin 4\sin^2 x \cos^2 x olduğunu fark etmek, payı doğrudan bir tam kare olan 2(\cos^2 x + \sin^2 x)^2 biçiminde görmenizi sağlar ve işlem kalabalığını önler. Deneme sınavlarında bu tür sorularda x = 30^\circ gibi özel bir açı değeri vererek şıkları doğrudan test etmek de pratik bir sağlama yöntemidir.