. 2n+2,515 sayısı 17 basamaklıotduğuna göre, n nin

YKS TYT
1

. 2n+2,515 sayısı 17 basamaklıotduğuna göre, n nin en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Resim
Resim499×280 9.92 KB

2

. 2^{n+2} · 5^{15} sayısı 17 basamaklı olduğuna göre, n’nin en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Çarpan 2 ve 5 birlikte 10 oluşturur; bu, basamak sayısını kolaylaştırır.
  • Eğer n+2 ≥ 15, ifade = 10^{15} · 2^{n+2-15} olur; basamak sayısı = 15 + basamak(2^{t}).
  • En büyük uygun n değeri 19’dur.

İfade 2^{n+2}·5^{15} = 10^{15}·2^{t} olacak şekilde t = n+2−15 alınır. 17 basamak için basamak(2^{t}) = 2 olmalı; bu da t ∈ {4,5,6} verir. Dolayısıyla n = t+13 ∈ {17,18,19} ve en büyük doğal sayı değeri 19’dur.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alternatif (log) Yöntem
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. İfade: 2^{n+2} · 5^{15}.
  2. Eğer n+2 ≥ 15, ortak faktörleri eşleştir: 2^{n+2}·5^{15} = 10^{15}·2^{(n+2)-15} = 10^{15}·2^{t}, t = n+2−15.
  3. Bir sayının basamak sayısı = 15 + basamak(2^{t}). 17 basamak için basamak(2^{t}) = 2 olmalı.
  4. Basamak(2^{t}) = 2 demek: 10 ≤ 2^{t} ≤ 99. Daha pratik: basamak(2^{t}) = floor(t·log10(2)) + 1 = 2 ⇒ floor(t·0.30103) = 1 ⇒ t ∈ {4,5,6}.
  5. t = 4,5,6 için n = t + 13 → n ∈ {17,18,19}. En büyük doğal sayı değeri: 19.

:light_bulb: Pro Tip: Çarpanlar 2 ve 5 varsa önce 10’ları ayırmak basamak hesaplamasını basitleştirir.

Alternatif (log) Yöntem

Doğrudan log ile: sayı S = 2^{n+2}·5^{15}. Basamak sayısı = floor(log10 S) + 1.
log10 S = (n+2)·log10 2 + 15·log10 5 = (n+2)·log10 2 + 15·(1 − log10 2) = 15 + (n+2−15)·log10 2 = 15 + t·log10 2.
17 basamak için 16 ≤ 15 + t·log10 2 < 17 ⇒ 1 ≤ t·log10 2 < 2 ⇒ t ∈ {4,5,6}. Aynı sonuç, n_max = 19.

:warning: Uyarı: Eğer n+2 < 15 olsaydı, 5 kuvvetleri artakta kalırdı ve 10^k çıkarımı farklı olurdu; önce her zaman min(kuvvetler) ile 10^k’yi ayırın.

Karşılaştırma Tablosu

t = n+2−15 2^{t} Basamak(2^{t}) Toplam Basamak Karşılık gelen n
3 8 1 16 16
4 16 2 17 17
5 32 2 17 18
6 64 2 17 19
7 128 3 18 20

Tablodan görüldüğü gibi toplam 17 basamak için t = 4,5,6, en büyük n = 19.

Özet Tablo

Unsur Sonuç
Verilen ifade 2^{n+2} · 5^{15}
Basamak hedefi 17
Ana fikir 2 ve 5 birleşerek 10^{15} yapar; kalan 2 kuvveti basamak belirler
Uygun t değerleri t = 4,5,6
Uygun n değerleri n = 17,18,19
En büyük n 19 (Doğru seçenek: C) 19)

Sık Sorulan Sorular

  1. S: n+2 < 15 olsaydı ne olurdu?
    C: O zaman 2^{n+2}·5^{15} = 10^{n+2}·5^{15-(n+2)} ve kalan 5 kuvveti sayıyı 10^{n+2} ile çarpmadan önce basamakları etkiler; yine log veya çarpan ayırma ile hesaplanır.

  2. S: t = 0 için kaç basamak olur?
    C: t=0 → ifade = 10^{15} → 16 basamak (1 ve ardından 15 sıfır).

  3. S: Basamak sayısını hızlıca nasıl tahmin ederim?
    C: Ortak 10’ları ayırın; kalan faktörün basamağını log10 ile bulun: basamak = floor(log10 kalan) + 1; toplam = çıkarılan 10’ların kuvveti + o basamak.

Sonraki Adımlar

Benzer sorular için adım adım çözümler veya 5 adet pratik soru içeren bir test ister misiniz? @1ozlemozyigit

3

2^{n+2} \times 5^{15} Sayısının 17 Basamaklı Olması: n’nin En Büyük Doğal Sayı Değeri

Önemli Noktalar

  • 2^{n+2} \times 5^{15} = 2^{n-13} \times 10^{15} (n+2 ≥ 15 için), yani 2^{n-13}'nin yazılışından sonra 15 sıfır eklenir.
  • Sayı 17 basamaklı ise 2^{n-13}'nin 2 basamaklı olması gerekir: 10 ≤ 2^{n-13} < 100.
  • Bu koşulu sağlayan en büyük n = 19’dur (seçenek C).

2^{n+2} \times 5^{15} sayısı 17 basamaklı olduğunda, n’nin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 19’dur. Bu, 2’nin üslerinin basamak sayısını inceleyerek bulunur: n=19 için sayı 64’ün arkasına 15 sıfır eklenmiş hali olup tam 17 basamak eder (64000000000000000). n=20’de ise 128 + 15 sıfır = 18 basamak olur.

İçindekiler

  1. Sorunun Matematiksel Analizi
  2. Basamak Sayısı Formülü
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Güç Tablosu
  5. Karşılaştırma Tablosu: n Değerlerine Göre Basamak Sayıları
  6. Özet Tablo
  7. Sık Sorulan Sorular

Sorunun Matematiksel Analizi

YKS TYT benzeri logaritma ve üs problemlerinde, 2^a \times 5^b çarpımı 10^{\min(a,b)} ile sadeleştirilir. Burada a = n+2, b=15 olduğundan (n ≥13 için):

2^{n+2} \times 5^{15} = 2^{(n+2)-15} \times (2^{15} \times 5^{15}) / 2^{15} = 2^{n-13} \times 10^{15}

Yani sayı, 2^{n-13}'nin decimal gösteriminden sonra 15 tane sıfır eklenmiş halidir.

Gerçek dünya uygulaması: Bu tip sayılar, büyük veri depolama veya şifreleme algoritmalarında (örneğin RSA) üs çarpımlarında basamak sayısını tahmin etmek için kullanılır. Sınavlarda ise logaritmik basamak formülü ile çözülür.

:light_bulb: Pro İpucu: Her zaman üsleri min(2,5) ile eşitleyip 10^k çıkar: Kalan 2 veya 5 üssü asıl mantığı verir.

Basamak Sayısı Formülü

Bir sayı x’in basamak sayısı:

d = \lfloor \log_{10} x \rfloor + 1

Bizim durumumuzda x = 2^{n-13} \times 10^{15}, yani:

\log_{10} x = (n-13) \log_{10} 2 + 15

17 basamak için:

16 \leq (n-13) \log_{10} 2 + 15 < 17
1 \leq (n-13) \log_{10} 2 < 2

log_{10} 2 ≈ 0.3010 ile:

1 / 0.3010 \approx 3.322 \leq n-13 < 2 / 0.3010 \approx 6.644

16.322 ≤ n < 19.644 → n=17,18,19 doğal sayılar. En büyüğü 19.

Sınav pratiği: log10(2)'yi ezberleyin (0.3010), hesabı hızlandırır.

:warning: Uyarı: n-13 <0 olursa (n<13) formül değişir: 5^{13-n} × 10^n olur, ama seçenekler >17 olduğundan gerek yok.

Adım Adım Çözüm

  1. Üsleri eşitle: 2^{n+2} \times 5^{15} = 2^{n-13} \times 10^{15}.
  2. Basamak hesabı: d(2^{n-13}) + 15 = 17 → d(2^{n-13}) = 2.
  3. 2 basamaklı aralık: 10 ≤ 2^{k} < 100, k=n-13.
  4. 2’nin güçlerini listele:
    • 2^3 = 8 (1 basamak)
    • 2^4 = 16 (2)
    • 2^5 = 32 (2)
    • 2^6 = 64 (2)
    • 2^7 = 128 (3)
  5. k=4,5,6 → n=17,18,19.
  6. En büyük: n=19.

n=19 kontrolü: 2^{19-13}=2^6=64 → 64 + 15 sıfır = 64000000000000000 (17 basamak).

n=20: 2^7=128 +15 sıfır = 18 basamak.

:bullseye: Anahtar Nokta: Doğrudan güç tablosu ezberi, logaritma hatasını önler.

Güç Tablosu

Üs (k = n-13) 2^k Basamak Sayısı n Değeri Toplam Basamak
3 8 1 16 16
4 16 2 17 17
5 32 2 18 17
6 64 2 19 17
7 128 3 20 18
8 256 3 21 18

Karşılaştırma Tablosu: n Değerlerine Göre Basamak Sayıları

Seçenek n 2^{n-13} Örnek Sayı Basamak Sayısı Koşul Sağlıyor mu?
A) 17 17 16 16 + 15 sıfır 17 Evet
B) 18 18 32 32 + 15 sıfır 17 Evet
C) 19 19 64 64 + 15 sıfır 17 Evet (En büyük)
D) 20 20 128 128 + 15 sıfır 18 Hayır
E) 21 21 256 256 + 15 sıfır 18 Hayır

Özet Tablo

Unsur Detay
Formül 2^{n+2} \times 5^{15} = 2^{n-13} \times 10^{15}
Koşul d(2^{n-13}) = 2
Uygun k = n-13 4,5,6
Uygun n 17,18,19
En büyük n 19
Sebep 2^6=64 (2 basamak), +15 sıfır=17 basamak
n=20 hatası 2^7=128 (3 basamak), toplam 18

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 5^{15} olarak kabul ediyoruz?
Görüntüde “515” muhtemelen 5^{15}'i gösterir (üst simge küçük yazıldığından). 515 çarpımı basamakları uydurmaz, ama 5^{15} seçenekleri mükemmel eşleştirir (YKS tipi standart problem).

2. Logaritma kullanmadan nasıl çözeriz?
2’nin güçlerini ezberleyin: 2^10=1024 (~10^3), ama küçük üsler için tablo yeterli. Sınavda 1-2 dakika alır.

3. n=16 olsa ne olur?
2^{3}=8 (1 basamak) +15 sıfır=16 basamak. Küçük kalır.

4. Ya 2^{n+2} < 5^{15} olsa?
n<13 için 5^{15-(n+2)} × 10^{n+2}, ama seçenekler büyük.

5. Benzer problemde 3^{m} olsa?
log10(3)≈0.4771 kullanın, aynı formül.

6. YKS’de puan getirir mi?
Evet, logaritma-üs konusundan tam puan. Hata: Sıfır sayısını unutmak.

7. Hesap makinesiyle doğrulama?
2^21 * 5^15 = 2097152 * 30517578125 = ama sadeleştirme更快. Python: len(str(2**(21)*5**15)) ==17.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir problem (örneğin 3^n × 2^{10}) çözmemi ister misiniz, yoksa YKS üs-logaritma quiz hazırlayayım mı?

@1ozlemozyigit