2jsjsj

LİSE
1

17421190012104333622244132654795
17421190012104333622244132654795720×542 22.4 KB

2

Hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda bir cisim K noktasından şekildeki gibi v hızıyla düşey yukarı atılıyor. Cisme, K noktasından L noktasına gelinceye kadar etki eden itme I_1, L noktasından geçip tekrar L noktasına gelinceye kadar etki eden itme $I_2$’dir. K ile L arası düşey uzaklık h kadardır. I_1 = I_2 olduğuna göre, cismin maksimum yüksekliği kaç $h$’dir?

Cevap:

Bu soruda, cisim ilk olarak K’den L’ye yükselmekte, ardından L noktasını geçerek maksimum yüksekliğe erişip yeniden L noktasından geçmektedir. Soruda verilen “$I_1 = I_2$” koşulu, cismin iki farklı hareket aralığındaki (K’den L’ye ve L’den tekrar L’ye gelinceye kadarki) toplam momentum değişimlerinin eşit olduğu anlamına gelir. Adım adım çözüm şöyledir:

1. Temel Kavramlar

  1. İtme (I): İtme, kuvvetin etki süresiyle çarpımına eşittir ve momentum değişimiyle ifade edilir:

    I = \Delta p = m \, \Delta v

    Burada m kütleyi, \Delta v ise hız değişimini temsil eder.

  2. Düzgün İvmeli Hareket Denklemleri (yer çekimi ivmesi g):

    • Hız bağıntısı:
      v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y
      (Burada a=-g ve \Delta y yukarı doğru seçilmiş koordinat sisteminde yer değişimidir.)

  3. İşlemsel Yön Seçimi:

    • Yukarı yönü pozitif kabul edersek, yer çekimi ivmesi -g olarak alınır.
    • Bu durumda itmenin işareti, momentum değişiminin yönüne göre pozitif veya negatif olabilir; ancak soruda “$I_1 = I_2$” ifadesi “büyüklük” eşitliğini temsil eder.

2. K’den L’ye Hareket (İtme I_1)

  • Cismin başlangıçta K noktasındaki hızı: v (yukarı yönlü).
  • L noktasına ulaştığında hızı: v_L.
  • K ile L arası mesafe: h.

Kinematik denklemle $v_L$’yi bulmak için:

v_L^2 = v^2 - 2 g h

(burada -2gh, yukarı doğru hareket olduğu için cismin hızının azalmasını ifade eder).

K’den L’ye hareket sırasındaki momentum değişimi:

\Delta p_1 = m \,(v_L - v)

Dolayısıyla,

I_1 = \Delta p_1 = m \,(v_L - v)

3. L’den Tekrar L’ye Hareket (İtme I_2)

Bu aşama, cisim L noktasını hızla geçerek en yüksek noktaya çıkması ve tekrar L’ye dönmesini içerir:

  1. Yukarı Gidiş (L’den Maksimum Yüksekliğe):

    • Başlangıç hızı: v_L (L noktasını geçerken hala yukarı doğru).
    • En tepe noktadaki hızı: 0.

  2. En Tepe Noktadan L’ye Dönüş (Aşağı İniş):

    • Başlangıç hızı: 0 (tepe noktasında).
    • L noktasına ulaştığındaki hızı: $v_L$’nin büyüklükçe aynısı ama yönü aşağı (dolayısıyla -v_L).

Dolayısıyla, bu tam tur (L’den L’ye) boyunca hız değişimi şu şekilde olur:

  • İlk geçişte hız: +v_L
  • Son geçişte hız: -v_L

Toplam momentum değişimi:

\Delta p_2 = m \, [(-v_L) - (v_L)] = - 2m v_L

Burada büyüklük olarak

|\Delta p_2| = 2 m v_L

ve

I_2 = \Delta p_2 = -2 m v_L

(veya büyüklük olarak 2m v_L).

4. İtme Eşitliği Koşulu I_1 = I_2

Soruda I_1 = I_2 denildiğinde, aslında büyüklükler eşit alınır. Yön farkı olsa da büyüklükler açısından:

|I_1| = |I_2| \quad \Longrightarrow \quad m\,|v_L - v| = 2m\,|v_L|

K hızının yukarı, $v_L$’nin de pozitif ancak daha küçük bir değer olduğu düşünüldüğünde $v_L < v$’dir. Bu yüzden:

(v - v_L) = 2 v_L

Buradan:

v = 3 \, v_L \quad \Longrightarrow \quad v_L = \frac{v}{3}

5. v_L ile h Arasındaki İlişki

K’den L’ye çıkarken kullandığımız kinematik denklem:

v_L^2 = v^2 - 2 g h

Elde ettiğimiz v_L = \frac{v}{3} ifadesini burada yerine koyarsak:

\left(\frac{v}{3}\right)^2 = v^2 - 2 g h
\frac{v^2}{9} = v^2 - 2 g h
v^2 - \frac{v^2}{9} = 2 g h
\frac{8 v^2}{9} = 2 g h
h = \frac{4 v^2}{9 g}

6. Maksimum Yükseklik (K’den Tepe Noktasına)

Cisim maksimum yüksekliğe (H) ulaştığında hızı sıfır olur. Toplam yükselme mesafesi H, K’den L’ye kadar olan h ve L’den tepe noktasına olan mesafe (H - h) şeklinde iki kısma ayrılabilir. L’den tepeye olan mesafeyi bulalım:

L noktasında hız v_L = \frac{v}{3}. Tepe noktasında hız 0 olduğuna göre:

0^2 = \left(\frac{v}{3}\right)^2 - 2 g \,\bigl(H - h\bigr)
\left(\frac{v}{3}\right)^2 = 2 g \,\bigl(H - h\bigr)
\frac{v^2}{9} = 2 g \,\bigl(H - h\bigr)

Böylece:

H - h = \frac{v^2}{18 g}

Bir önceki adımda $h$’ı \frac{4 v^2}{9 g} olarak bulmuştuk. Bu değeri kullanarak $H$’yi hesaplayalım:

H = h + \frac{v^2}{18 g} = \frac{4 v^2}{9 g} + \frac{v^2}{18 g}
= \frac{8 v^2}{18 g} + \frac{v^2}{18 g} = \frac{9 v^2}{18 g} = \frac{v^2}{2 g}

Ancak elimizde v^2 = \frac{9 g h}{4} olduğundan:

H = \frac{\frac{9 g h}{4}}{2 g} = \frac{9 h}{8}

Yani maksimum yükseklik, K noktasına göre H = \frac{9}{8}\,h değerine eşittir. Başka bir deyişle cismin en yüksek noktaya ulaştığı konum, K noktasının 1.125\,h kadar üstüdür.

7. Sonuç

Sorudaki “$I_1 = I_2$” şartıyla elde ettiğimiz sonuç, cismin maksimum yüksekliğinin K noktasından itibaren \tfrac{9}{8}\,h olduğunu gösterir. Dolayısıyla, aranan cevap:
\boxed{\frac{9}{8}\,h}.

Özet Tablosu

Aşama Açıklama
1. İtme Tanımı I = m\,(v_{\text{son}} - v_{\text{ilk}})
2. K’den L’ye (Itme I_1) I_1 = m\,(v_L - v)
3. L’den tekrar L’ye I_2 = m\,\bigl((-v_L) - v_L\bigr) = -2m v_L
4. I_1 = I_2 Eşitliği $\left
5. K-L Arası Uzaklık h = \tfrac{4v^2}{9g}\; (kinematik denklemlerle bulunur)
6. Maksimum Yükseklik H = \tfrac{9}{8}h \; (K noktasından en yüksek noktaya olan mesafe)

Böylece sorunun cevabı nettir: Cismin maksimum yüksekliği $H = \tfrac{9}{8},h$’dir. Teşekkürler @Hucurattt