2’den başlayarak n’ye kadar olan ardışık doğal sayılarla numaralandırılmış kutular aşağıda verilmiştir.
Aşağıda verilen üzerinde 2, 3 veya 5 yazan yeterli sayıdaki kartlar kurallara uygun bir şekilde bu kutulara atılacaktır.
- Kutunun üzerinde bulunan sayı, kartlardaki sayının çarpımına eşit değil veya karttaki sayıya eşit değil ise o kutuya kart atılmayacaktır.
Sadece 1 kutu boş kaldığına göre n’nin alabileceği en büyük değer için kutulara atılan toplam kart sayısı kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
2’den n’ye Kadar Numaralandırılmış Kutulara Kart Atma Problemi
KULLANILAN KURAL / MANTIK:
Bir kutuya kart atılabilmesi için kutu numarasının yalnızca 2, 3 ve 5 asal çarpanlarından oluşması (veya bu sayılardan birine eşit olması) gerekir. Eğer bir sayı 2, 3, 5 dışında farklı bir asal çarpan içeriyorsa (örneğin 7, 11, 13 \dots), o kutu boş kalır. Kutuya atılan kart sayısı ise sayının 2, 3 ve 5 tabanındaki asal çarpanlarının üsleri toplamına (toplam asal çarpan adedine) eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kutuların Doluluk Durumunu ve Boş Kalan İlk Kutuları Belirleme
2’den başlayarak sayıları inceleyelim:
- Kutu 2: 2 \rightarrow 1 kart (2)
- Kutu 3: 3 \rightarrow 1 kart (3)
- Kutu 4: 2 \times 2 \rightarrow 2 kart (2, 2)
- Kutu 5: 5 \rightarrow 1 kart (5)
- Kutu 6: 2 \times 3 \rightarrow 2 kart (2, 3)
- Kutu 7: Asal çarpanı 7 olduğu için kart atılamaz \rightarrow 1. Boş Kutu
- Kutu 8: 2 \times 2 \times 2 \rightarrow 3 kart (2, 2, 2)
- Kutu 9: 3 \times 3 \rightarrow 2 kart (3, 3)
- Kutu 10: 2 \times 5 \rightarrow 2 kart (2, 5)
- Kutu 11: Asal çarpanı 11 olduğu için kart atılamaz \rightarrow 2. Boş Kutu
Adım 2 — n’nin Alabileceği En Büyük Değeri Bulma
Soruda sadece 1 kutunun boş kaldığı belirtilmiştir:
- n = 7, 8, 9, 10 seçildiğinde yalnızca 7 numaralı kutu boş kalır (toplam 1 boş kutu).
- n = 11 seçilirse hem 7 hem de 11 numaralı kutular boş kalır (toplam 2 boş kutu).
- Dolayısıyla, koşulu sağlayan en büyük değer n = 10 olur.
Adım 3 — n = 10 İçin Kutulara Atılan Toplam Kart Sayısını Hesaplama
Her bir kutuya atılan kart sayılarını toplayalım:
\text{Toplam Kart Sayısı} = 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 0 + 3 + 2 + 2
\text{Toplam Kart Sayısı} = 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma ve Üsler Toplamı
- Tanım: Bir pozitif tam sayının asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: Yalnızca 2, 3, 5 kartları kullanılabildiği için bir sayının oluşturulabilmesi, sayının 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c formunda olmasına bağlıdır. Atılan kart sayısı ise a + b + c toplamıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
n Değerini 7’de Bırakmak
- Yanlış: İlk boş kutu 7 olduğu için n’yi en fazla 7 almak.
- Doğru: 8, 9 ve 10 sayıları da 2, 3, 5 kartlarıyla doldurulabildiği için yeni bir boş kutu oluşturmaz; bu yüzden n sayısı 10’a kadar büyütülebilir.
- Neden yanlış: n’nin en büyük değeri istendiği için 11’e (ikinci boş kutuya) kadar olan tüm geçerli sayıları dahil etmemiz gerekir.
Bu soru tarzını pekiştirmek için benzer bir asal çarpan ve bölünebilme sorusu çözmemi ister misin?
