)10. (2a - 6) ve (a + b) aralarında asal sayılar olmak üzere,
2a-6
a+b
ifadesi veriliyor.
Buna göre, a-b çarpimı kaçtır?
A) 10
B) 14
C) 15
D) 21
E) 35
Aşağ
(2a - 6) ve (a + b) Aralarında Asal Sayıları ile a \cdot b Çarpımının Bulunması
KULLANILAN KURAL: x ve y aralarında asal iki pozitif tam sayı olmak üzere, \frac{x}{y} = \frac{m}{n} eşitliğinde m ile n de aralarında asal olacak şekilde sadeleştirildiğinde x = m ve y = n olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesri En Sade Hale Getirme
Verilen eşitlikteki kesrin pay ve paydası ortak bölen içerdiğinden, aralarında asallık kuralını uygulamak için kesir 3 ile sadeleştirilir:
\frac{2a - 6}{a + b} = \frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}
4 ve 7 sayıları aralarında asaldır.
Adım 2 — Eşitlikleri Kurma ve a Değerini Bulma
(2a - 6) ve (a + b) aralarında asal olduğundan:
2a - 6 = 4
2a = 10
a = 5
Adım 3 — b Değerini Bulma
Paydaların eşitliğinden yararlanılarak bulunan a = 5 değeri yerine yazılır:
a + b = 7
5 + b = 7
b = 2
Adım 4 — a \cdot b Çarpımını Hesaplama
Bulunan a ve b değerleri çarpılır:
a \cdot b = 5 \cdot 2 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aralarında Asal Sayılar
- Tanım: 1’den başka pozitif ortak böleni olmayan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
- Bu problemde: \frac{2a - 6}{a + b} ifadesi \frac{12}{21} kesrine eşitken doğrudan 2a - 6 = 12 ve a + b = 21 denemez; çünkü 12 ve 21 aralarında asal değildir. Öncelikle kesir en sade hali olan \frac{4}{7}'ye getirilmelidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesri Sadeleştirmeden Eşitlemek
- Yanlış: 2a - 6 = 12 \implies 2a = 18 \implies a = 9 ve a + b = 21 \implies 9 + b = 21 \implies b = 12, buradan a \cdot b = 9 \cdot 12 = 108 bulmak.
- Doğru: Önce \frac{12}{21} kesrini 3 ile sadeleştirip \frac{4}{7} haline getirmek, ardından payı paya, paydayı paydaya eşitlemek.
- Neden Yanlış: 12 ve 21 sayılarının 3 ortak böleni olduğu için (2a - 6) ve (a + b) sayılarının aralarında asal olma şartı doğrudan 12 ve 21’e eşitlendiklerinde sağlanamaz.
Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için aralarında asal sayılarla ilgili benzer bir soru daha çözmemi ister misin?