2a + 3b ile 2a - 3b aralarında asal sayılar olmak üzere
38 \cdot (2a - 3b) = 18 \cdot (2a + 3b) eşitliği veriliyor.
Buna göre a kaçtır?
A) 11
B) 9
C) 8
D) 7
E) 5
Aralarında Asal Sayılar ve Oran-Orantı Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: x ve y aralarında asal iki pozitif tam sayı olmak üzere \frac{x}{y} = \frac{m}{n} eşitliğinde kesir en sade hâline getirildiğinde x = m ve y = n olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Eşitliği Oran Hâline Getirme ve Sadeleştirme
Verilen 38 \cdot (2a - 3b) = 18 \cdot (2a + 3b) eşitliğinde terimleri birbirine oranlayalım:
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{38}{18}
2a + 3b ile 2a - 3b aralarında asal olduğundan, karşıdaki kesri en sade hâline getirmeliyiz (pay ve paydayı 2 ile sadeleştirelim):
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{19}{9}
Adım 2 — Denklem Sistemini Kurma ve a Değerini Bulma
19 ve 9 sayıları aralarında asal olduğundan karşılıklı terimler doğrudan eşitlenir:
2a + 3b = 19
2a - 3b = 9
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak b’li terimleri yok edelim:
(2a + 3b) + (2a - 3b) = 19 + 9
4a = 28 \implies a = 7
CEVAP: D) 7 (a = 7)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Aralarında asal ifadelerin oranlandığı sorularda eşitliğin diğer tarafındaki kesir sadeleştirilmeden doğrudan pay ve paydaya eşitlenirse işlem hatası yapılır. Mutlaka kesrin en sade biçimi elde edilmelidir.