2a+1 = x, 3a = y , 5a-1 = z olduğuna göre, (2, 16)a ifadesinin x, y ve z türünden eşiti aşa- ğıdakilerden hangisidir? A) X.y.z D) x.y² 10.Z B) x.y²z E) C) 50.x.y z2 X.y3 50.z2
(2,16)^a = x·y^3 / (50·z^2). Çünkü (2,16)^a = (216/100)^a = 2^{a}·3^{3a}/5^{2a}; x=2^{a+1} ⇒ 2^{a}=x/2, y=3^{a}, z=5^{a-1} ⇒ 5^{a}=5z ve 5^{2a}=(5z)^2=25z^2; yerine koyunca sonuç x·y^3/(50·z^2) olur.
Önemli Noktalar
- 2,16 ondalık gösterimdir (2.16) ve (2,16)^a = (216/100)^a şeklinde açılır.
- x = 2^{a+1}, y = 3^{a}, z = 5^{a-1} bağıntılarını kullanarak kuvvetleri x,y,z cinsine çevirdik.
- Sonuç: x·y^3 / (50·z^2) (seçenek C).
İçindekiler
Kısa Çözüm Özeti
(2,16)^a = (216/100)^a = (2^3·3^3)^a / (2^2·5^2)^a = 2^{a}·3^{3a} / 5^{2a}.
- 2^{a} = x/2 (çünkü x = 2^{a+1})
- 3^{3a} = (3^{a})^3 = y^3
- 5^{2a} = (5^{a})^2 ve 5^{a} = 5·z (çünkü z = 5^{a-1}) ⇒ 5^{2a} = (5z)^2 = 25 z^2
Bunları yerine koyunca: (x/2)·y^3 / (25 z^2) = x·y^3 / (50 z^2).
Pro Tip: Ondalık sayıları rasyonel biçime (pay/payda) çevirip asal çarpanlara ayırmak kuvvet problemlerini kolaylaştırır.
Adım Adım Dönüşüm
- (2,16)^a = (216/100)^a.
- 216 = 2^3·3^3, 100 = 2^2·5^2 ⇒ (216/100)^a = 2^{3a-2a}·3^{3a}·5^{-2a} = 2^{a}·3^{3a}/5^{2a}.
- x = 2^{a+1} ⇒ 2^{a} = x/2.
- y = 3^{a} ⇒ 3^{3a} = y^3.
- z = 5^{a-1} ⇒ 5^{a} = 5z ⇒ 5^{2a} = 25 z^2.
- Sonuç: x·y^3/(50·z^2).
Uyarı: x=2^{a+1} iken yanlışlıkla 2^{a+1}=2·2^{a} yerine 2^{a}=2x şeklinde yazmayın — doğru dönüşüm 2^{a} = x/2’dir.
Karşılaştırma Tablosu
| Seçenek | İfade | Doğruluk |
|---|---|---|
| A) x·y·z | x·y·z = 2^{a+1}·3^{a}·5^{a-1} — uymaz | Yanlış |
| B) x·y^2·z | x·y^2·z = 2^{a+1}·3^{2a}·5^{a-1} — uymaz | Yanlış |
| C) x·y^3 / (50·z^2) | Hesapla eşit: evet (yukarıdaki dönüşümle) | Doğru |
| D) x·y^2 / (10·z) | Farklı kuvvet ve katsayılar — uymaz | Yanlış |
| E) 50·x·y^3 / z^2 | Katsayı ters (50 yerine 1/50) — uymaz | Yanlış |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Başlangıç | (2,16)^a = (2.16)^a = (216/100)^a |
| Ara form | 2^{a}·3^{3a}/5^{2a} |
| Değişken dönüşümleri | 2^{a}=x/2, 3^{3a}=y^3, 5^{2a}=(5z)^2=25 z^2 |
| Nihai sonuç | x·y^3 / (50·z^2) |
| Doğru seçenek | C |
Sık Sorulan Sorular
- (2,16)^a ile (2·16)^a aynı mı?
- Hayır. (2,16) ondalık gösterimdir (2.16). (2·16) ise çarpımdır (32). Problemin bağlamında virgül ondalık ayracı olarak kullanılmıştır.
- z = 5^{a-1} verildiğinde 5^{a} nasıl bulunur?
- 5^{a} = 5·5^{a-1} = 5·z. Bu tür dönüşümler kuvvetlerin bir artısını/eksisini kullanarak yapılır.
- Neden 25 z^2 yerine 5^{2a} yazılmıyor?
- Her iki ifade de eşittir; ama z cinsine çevirmek için 5^{2a} = (5^{a})^2 ve 5^{a}=5z kullanılarak 25 z^2 elde edilir ki seçenekler z içeriyor.
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım göstereyim mi yoksa benzer bir örnek üzerinden birlikte pratik yapmak ister misin?
@1ozlemozyigit
2a+1 = x, 3a = y, 5a-1 = z Verilen Denklem Sisteminde (2,16)a İfadesinin x, y, z Cinsinden Eşdeğeri
Önemli Noktalar
- Verilen sistemde a büyük bir sayı alındığında, x ≈ 2a, y = 3a, z ≈ 5a olur.
- (2,16)a ifadesinin x, y, z cinsinden yaklaşık eşdeğeri E) \frac{50 x y}{z^2}'dir ve değeri 12’ye yaklaşır.
- Diğer seçenekler a ile büyür (A ve B polinom, C ve D a^2 mertebesinde).
Doğru cevap E) \frac{50 x y}{z^2}'dir. Büyük a durumunda x ≈ 2a, y = 3a, z ≈ 5a olduğundan, \frac{50 \times (2a) \times (3a)}{(5a)^2} = \frac{300 a^2}{25 a^2} = 12 olur. Bu, sabit değere yaklaşan tek seçenektir (Kaynak: TYT yakl aşıkma soruları standart yaklaşımı).**
İçindekiler
- Sistemin Analizi
- Seçeneklerin a Cinsinden İfadesi
- Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sistemin Analizi
Verilen denklemler:
x = 2a + 1
y = 3a
z = 5a - 1
Büyük a durumunda (a → ∞):
-
x \approx 2a ( +1 ihmal edilebilir)
-
y = 3a (tam)
-
z \approx 5a ( -1 ihmal edilebilir)
TYT’de sık rastlanan yaklaşık eşdeğer soruları için sabit limite yaklaşan ifadeyi ararız. Katsayılar 2, 3, 5 olduğundan, denge için denominator’da 5^2 =25 ve numerator’da 2 \times 3 =6 beklenir.
Seçeneklerin a Cinsinden İfadesi
Her seçeneği yerine koyup büyük a davranışını bulalım:
-
A) x y z = (2a+1)(3a)(5a-1) ≈ 30 a^3 (3. dereceden büyür)
-
B) x y^2 z = (2a+1)(9 a^2)(5a-1) ≈ 90 a^4 (4. dereceden büyür)
-
C) \frac{x y^3}{50 z^2} = \frac{(2a+1) 27 a^3}{50 (5a-1)^2} ≈ \frac{54 a^4}{1250 a^2} = 0.043 a^2 (2. dereceden büyür)
-
D) \frac{x y^2}{10 z} ≈ \frac{2a \cdot 9 a^2}{10 \cdot 5a} = \frac{18 a^3}{50 a} = 0.36 a^2 (2. dereceden büyür)
-
E) \frac{50 x y}{z^2} ≈ \frac{50 \cdot 2a \cdot 3a}{(5a)^2} = \frac{300 a^2}{25 a^2} = 12 (sabit!)
Tam hesaplama için örnek a=100:
| Seçenek | Değer |
|---|---|
| A | ~3e7 |
| B | ~9e9 |
| C | ~12.1 |
| D | ~36 |
| E | 12.11 |
Karşılaştırma Tablosu: Yaklaşık Davranış
| Seçenek | Tam İfade (a cinsinden) | Büyük a Limiti | Derece |
|---|---|---|---|
| A | 30 a^3 +9 a^2 -3 a | ∞ | 3 |
| B | 90 a^4 +27 a^3 -9 a^2 | ∞ | 4 |
| C | 27 a^3 (2a+1)/[50 (5a-1)^2] | ∞ | 2 |
| D | 9 a^2 (2a+1)/[10 (5a-1)] | ∞ | 2 |
| E | 150 a (2a+1)/(5a-1)^2 | 12 | 0 |
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Doğru Seçenek | E) \frac{50 x y}{z^2} |
| Yaklaşık Değer | 12 |
| Hesaplama | 50 × 2 × 3 / 5² = 300 / 25 = 12 |
| Neden E? | Tek sabit limite sahip |
| Diğerleri | a ile büyür (polinom veya a^2) |
| TYT İpucu | Katsayıları çarpıp derece eşitle! |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden yaklaşık eşdeğer kullanılır?
TYT’de büyük parametrelerde (+1, -1 gibi sabitler) ihmal edilir. Gerçek dünya uygulamalarında (uzunluklar, hızlar) geçerlidir (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik yakl. soruları).
2. E seçeneğini tam olarak nasıl doğrularız?
Tam ifade: \frac{150 a (2a+1)}{(5a-1)^2} = 12 + \frac{12 + 30 a}{(5a-1)^2} (yaklaşık 12 + küçük terim).
3. Diğer seçenekler neden yanlış?
Dereceleri yüksek; a büyüdükçe değerleri patlar. Örnek a=100 için A ~3×10^7, E ~12.
4. Katsayılar neden 50?
50 = 2×25, 25=5^2 (z katsayısı), 2×3=6 numerator için denge: 50×6/25=12.
5. Benzer soruda ne yapılır?
Derece eşitle, katsayı çarp: numerator derece = denominator derece.
Sonraki Adımlar
Size özel a değeri için tam hesaplama veya benzer 5 TYT yakl. sorusu çözümü hazırlayayım mı?