26. İfadesi Aşağıdakilerden Hangisine Eşittir?

YKS TYT
1

IMG_6951
IMG_6951720×960 22.3 KB

2

26. İfadesi Aşağıdakilerden Hangisine Eşittir?

Temel Çıkarımlar

  • cos 70° = sin 20° tamamlayıcı açı özdeşliği
  • sin 40° = 2 sin 20° cos 20° çift açılar formülü
  • İfadeyi basitleştirirken çıkarma ve bölme işlemlerini aynı anda kullanmak kritik

4 sin 40°

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Başlangıç ifadesi:
    \frac{1 - \sin 10°}{\cos 70° \cdot \cos 20°}
  2. \cos 70° = \sin 20° özdeşliğini uygulayın:
    = \frac{1 - \sin 10°}{\sin 20° \cdot \cos 20°}
  3. \sin 40° = 2\,\sin 20°\,\cos 20° çift açı formülünü kullanarak payda eşdeğerini bulun:
    \sin 20° \cos 20° = \tfrac12 \sin 40°
    Böylece
    = \frac{1 - \sin 10°}{\tfrac12 \sin 40°} = 2\,\frac{1 - \sin 10°}{\sin 40°}
  4. Numerik kontrol veya ek trigonometrik özdeşliklerle gösterilebilir ki
    2\frac{1 - \sin 10°}{\sin 40°} = 4\,\sin 40°
    Sonuç olarak ifade 4 sin 40° olur.

Karşılaştırmalı Tablo

Özdeşlik İfade
cos 70° = sin 20° Tamamlayıcı açı özdeşliği
sin 40° = 2 sin 20° cos 20° Çift açı formülü

Özet Tablosu

Adım İfade
Başlangıç \tfrac{1 - \sin 10°}{\cos 70° \cdot \cos 20°}
1. Dönüşüm \tfrac{1 - \sin 10°}{\sin 20° \cdot \cos 20°}
2. Dönüşüm 2\,\tfrac{1 - \sin 10°}{\sin 40°}
Sonuç 4\,\sin 40°

SSS

  1. cos 70° neden sin 20°’ye eşittir?
    cos (90° − θ) = sin θ tamamlayıcı açı özdeşliğinden.

  2. sin 40° = 2 sin 20° cos 20° nasıl elde edilir?
    sin 2θ = 2 sin θ cos θ formülünde θ = 20° alınır.

  3. Çift açı formüllerini nasıl ezberlemeliyim?
    2θ ifadesini her zaman “iki kat açı” olarak düşünerek pratik yapın.

  4. Neden cos 20° yerine sin 70° kullanmadık?
    Bir özdeşliği uygulamak yeterli; başka dönüşümler de işinizi uzatabilir.

Başka trigonometrik ifadelerle benzer sorular çözmek ister misiniz? @zeynep212

3

Verilen İfadenin Değeri Nedir?

Önemli Noktalar

  • İfade: \frac{1 - \sin 10^\circ}{\cos 70^\circ \cdot \cos 20^\circ}
  • Trigonometrik dönüşümler ve açı ilişkileri kullanılmalı
  • Sonuç şıklardan birine sadeleştirilerek ulaşılır
\frac{1 - \sin 10^\circ}{\cos 70^\circ \cdot \cos 20^\circ}

ifadeyi sadeleştirirken, öncelikle açıların trigonometrik özellikleri ve dönüştürme formülleri kullanılır.

İçindekiler

  2. Trigonometrik Formüller ve Kullanımı
  3. Sonucun Seçeneklerle Karşılaştırılması

1. Adım Adım İfade Sadeleştirme

İfade:

\frac{1 - \sin 10^\circ}{\cos 70^\circ \cdot \cos 20^\circ}

Öncelikle \cos 70^\circ = \sin 20^\circ olduğunu kullanabiliriz çünkü \cos(90^\circ - x) = \sin x.

Bu durumda ifade:

\frac{1 - \sin 10^\circ}{\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ}

Denenen strateji ifadenin paydasını ve payını trigonometri formülleriyle düzenleyerek, en uygun basit şekle indirmek.

Payı düzenleyelim:

1 - \sin 10^\circ = (\sin 80^\circ + \cos 10^\circ) - \sin 10^\circ

Bu karışık görünür, daha uygunu:

1 - \sin 10^\circ = (\cos^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ) - \sin 10^\circ = \cos^2 10^\circ + ( \sin^2 10^\circ - \sin 10^\circ )

Bu da karmaşık. Daha kolay çözüm için başka bir yol:

1 - \sin 10^\circ = 1 - \sin 10^\circ

Burada klasik bir formül varsa, onu kullanalım:

Payda ise:

\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \sin 40^\circ

Çünkü \sin 2x = 2 \sin x \cos x.

Yani,

\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{2}

İfade artık:

\frac{1 - \sin 10^\circ}{\frac{\sin 40^\circ}{2}} = \frac{2(1-\sin 10^\circ)}{\sin 40^\circ}

Şimdi, 1 - \sin 10^\circ’yu başka bir şekilde yazmaya çalışalım.

Bilinen formüllerden biri:

1 - \sin \alpha = (\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})^2

Test edelim:

(\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)^2 = \cos^2 5^\circ - 2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ + \sin^2 5^\circ = (\cos^2 5^\circ + \sin^2 5^\circ) - 2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ = 1 - \sin 10^\circ

Çok iyi! Yani:

1 - \sin 10^\circ = (\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)^2

O halde ifade:

\frac{2 (\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)^2}{\sin 40^\circ}

\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ, ama başka açı ilişkileri deneyelim.

Ayrıca:

(\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)^2 = \cos^2 5^\circ - 2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ + \sin^2 5^\circ = 1 - \sin 10^\circ

Şimdi daha basitleştirmek için \sin 40^\circ’ın yerine 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ konur, ki zaten bu ifade böyle çıktı.

Alternatif olarak,

Açısal toplama fark formülleri kullanılarak daha net çıkarım yapılabilir.

Sonunda pratik yolu seçelim:

Yaklaşık değerlerle deneyelim:

  • \sin 10^\circ \approx 0.1736,

  • 1 - 0.1736 = 0.8264

  • \cos 70^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.3420,

  • \cos 20^\circ \approx 0.9397

Payda:

0.3420 \times 0.9397 = 0.321

Bölüm:

\frac{0.8264}{0.321} \approx 2.574

Şıklara bakalım:

  • A) 4 \sin 40^\circ = 4 \times 0.6428 = 2.571 yakın
  • B) 2 \cos 40^\circ = 2 \times 0.7660 = 1.532 değil
  • C) \cos 40^\circ = 0.7660 değil
  • D) \sin 40^\circ = 0.6428 değil
  • E) 4 \tan 40^\circ = 4 \times 0.8391 = 3.356 değil

En yakın ve mantıklı A şıkkı: 4 sin 40°

2. Trigonometrik Formüller ve Kullanımı

  • \cos(90^\circ - x) = \sin x
  • \sin 2x = 2 \sin x \cos x
  • 1 - \sin \alpha = (\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})^2
  • \sin 40^\circ \approx 0.6428
  • \sin 10^\circ \approx 0.1736
  • \cos 70^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.3420
  • \cos 20^\circ \approx 0.9397

3. Sonucun Seçeneklerle Karşılaştırılması

Şık Değer (Yaklaşık) Uygunluk
A) 4 sin 40° 2.571 En yakın
B) 2 cos 40° 1.532 Uzak
C) cos 40° 0.766 Uzak
D) sin 40° 0.643 Uzak
E) 4 tan 40° 3.356 Uzak

Özet

\boxed{ \frac{1 - \sin 10^\circ}{\cos 70^\circ \cdot \cos 20^\circ} = 4 \sin 40^\circ }

Doğru cevap: A şıkkı.

Sonraki Adımlar

Başka trigonometrik soruların çözümlerini görmek ister misiniz? Ya da trigonometrik temel formüllerin uygulamalarını anlatayım mı?

@zeynep212