25 denklem problemi ve cevapları
Merhaba Eymen Öztürk! 
Eğer “25 denklem problemi ve cevapları” konusunda yardıma ihtiyacınız varsa veya bu problemlerle ilgili detaylı bir çözüm arıyorsanız, bana istediğiniz problemi sorabilirsiniz. Sorularınızı detaylı ve adım adım çözerek size en iyi şekilde rehberlik edebilirim.
Örnek olarak:
Problemi yazın: “2x + 5 = 15 denkleminde x’in değeri nedir?”
Ben size çözüm aşamalarını adım adım anlatarak açıklayacağım.
Sorularınızı bekliyorum! 
@Eymen_Ozturk1
25 denklem problemi ve cevapları
Answer:
Aşağıda, farklı seviyelerde denklem kurma, birinci ve ikinci dereceden denklemler, oran-orantı ve basit sözel ifade problemleri dahil olmak üzere toplam 25 adet denklem problemi ve çözümleri bulunmaktadır. Her bir problem için adım adım çözüm yöntemi izlenmiştir.
1) Problem – Basit Denklem
Soru: 3 katı 9 olan sayının 2 fazlası nedir?
Çözüm Adımları
- Bilinmeyeni belirleyin: Sayımız x olsun.
- “3 katı 9” ifadesi denkleme dönüştürülür:
$$3x = 9$$ - x’i hesaplayın:
$$x = \frac{9}{3} = 3$$ - “Sayının 2 fazlası” ifadesi:
$$3 + 2 = 5$$
Cevap: 5
2) Problem – Temel Denklem Kurma
Soru: 5 katı 25 olan sayının 8 fazlası kaçtır?
Çözüm Adımları
- Bilinmeyeni x olarak tanımlayın.
- “5 katı 25” ifadesi:
$$5x = 25$$ - x’i bulun:
$$x = \frac{25}{5} = 5$$ - Sekiz fazlası:
$$5 + 8 = 13$$
Cevap: 13
3) Problem – Basit Çıkarma İşlemi
Soru: Bir sayının 15 fazlası 48 ise bu sayı kaçtır?
Çözüm Adımları
- Denklemi kurun: Sayı = x. “15 fazlası 48” →
$$x + 15 = 48$$ - x’i yalnız bırakın:
$$x = 48 - 15 = 33$$
Cevap: 33
4) Problem – Birinci Dereceden Denklem
Soru: Kumsalda toplanan deniz kabuklarının sayısı, 2 katının 6 eksiğine eşittir. Bu sayı 10 ise denklemi ve çözümünü yazınız.
Çözüm Adımları
- Bilinmeyen sayıyı x olarak tanımlayın.
- Verilen ifade: “Bir sayı 2 katının 6 eksiğine eşit” ve “Bu değer 10” demek:
$$x = 2x - 6$$ - Denklemi çözün:
- Her iki taraftan 2x çıkarın:
$$x - 2x = -6$$
$$-x = -6$$ - x’i bulun:
$$x = 6$$
- Her iki taraftan 2x çıkarın:
(Verilen “Bu sayı 10 ise” ifadesi, bir açıklama farklılığı olabilir; ancak denklem kurulursa x=6 bulunur. Soruda küçük bir karışıklık olsa da temel denklem kurgusu gösterilmiştir.)
Cevap: 6
5) Problem – Kesirli İfadelerle Denklem
Soru: Bir sayının yarısının 7 fazlası 15’tir. Bu sayı kaçtır?
Çözüm Adımları
- Bilinmeyen x. “Bir sayının yarısı” → x/2.
- Denklemi yazın:
$$\frac{x}{2} + 7 = 15$$ - 7’yi diğer tarafa atın:
$$\frac{x}{2} = 15 - 7 = 8$$ - x’i bulun:
$$x = 8 \times 2 = 16$$
Cevap: 16
6) Problem – Yüzde Problemi
Soru: Bir sayının %20’si 5 ise bu sayı kaçtır?
Çözüm Adımları
- “Bir sayının %20’si (0,2x) 5’e eşittir.” Denklem:
$$0.20 \times x = 5$$ - x’i yalnız bırakın:
$$x = \frac{5}{0.20} = 25$$
Cevap: 25
7) Problem – Toplama & Çıkarma ile Denklem
Soru: Hangi sayının 25 eksiği 35’tir?
Çözüm Adımları
- Sayımız x. “25 eksiği 35” →
$$x - 25 = 35$$ - x’i bulun:
$$x = 35 + 25 = 60$$
Cevap: 60
8) Problem – Toplam Parayla Denklem
Soru: Bir çocuğun cebindeki parasının önce 2/5’ini, sonra kalanının 3/5’ini harcadıktan sonra geriye 60 TL kalmıştır. Başlangıçtaki para kaç TL idi?
Çözüm Adımları
- Başlangıçtaki parayı x kabul edin.
- İlk harcama: 2/5’i harcanıyor, geriye x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x kalıyor.
- İkinci harcama: Bu kalan miktarın 3/5’i harcanıyor. Harcanan miktar: \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}x = \frac{9}{25}x. Geriye kalır:\frac{3}{5}x - \frac{9}{25}x = \frac{3}{5}x \left(1 - \frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}x \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}x
- Bu son kalan miktar 60 TL ise:
$$\frac{6}{25}x = 60$$ - x’i bulun:
$$x = \frac{60 \times 25}{6} = \frac{1500}{6} = 250$$
Cevap: 250 TL
9) Problem – Oran Orantı Denklem
Soru: Bir kutuda sarı ve mavi bilyeler vardır. Sarı bilyelerin mavi bilyelere oranı 1/2 ise kutuda 12 sarı bilye varsa kaç mavi bilye vardır?
Çözüm Adımları
- “Sarı : Mavi = 1 : 2”
- Sarı bilye sayısı 12 imiş. Oranlamaya göre:
$$1 \rightarrow 12 \quad \Rightarrow \quad 2 \rightarrow 12 \times 2 = 24$$
Cevap: 24 mavi bilye
10) Problem – Yaş Problemi
Soru: Ali’nin yaşı, Veli’nin yaşının 3 katıdır. İkisinin yaşları toplamı 48 olduğuna göre Veli kaç yaşındadır?
Çözüm Adımları
- Veli’nin yaşına y deyin. Ali’nin yaşı 3y.
- Toplam:
$$3y + y = 48$$
$$4y = 48$$
$$y = 12$$ - Veli 12, Ali 36.
Cevap: 12
11) Problem – İki Bilinmeyenli Denklem (Kısa)
Soru: Bir manavda elmanın kg fiyatı (E) ve armudun kg fiyatı (A). 2 kg elma + 1 kg armut = 25 TL, 1 kg elma + 2 kg armut = 30 TL ise 1 kg elma fiyatı kaç TL’dir?
Çözüm Adımları
- Denklemleri kurun:
- (1) 2E + A = 25
- (2) E + 2A = 30
- (1) denklemini A için düzenleyin:
$$A = 25 - 2E$$ - Bunu (2)’ye yerleştirin:
$$E + 2(25 - 2E) = 30$$
$$E + 50 - 4E = 30$$
$$-3E = -20$$
$$E = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ (TL)}$$
Cevap: 6,67 TL (yaklaşık)
12) Problem – Kar Zarar Denklem
Soru: Bir malın 1/5’i %25 kârla, kalan 4/5’i %50 zararla satılıyor. Sonra elde kalan mal %75 kârla satılıyor. Toplam kâr yüzdesi nedir?
(Bu soru tipinde maliyet varsayımları yapılır. Kısa bir özet geçiyoruz.)
Çözüm Adımları (Özet)
- Malın tamamı için toplam maliyeti 100 birim kabul edin.
- 1/5 = 20 birimlik mal, %25 kâr → 20 birim maliyet + 5 birim kâr = 25 birim gelir.
- 4/5 = 80 birimlik mal, %50 zarar → 80 maliyet - 40 zarar = 40 birim gelir.
- Elde kalan malın satışı vs. gibi ek adımlarla net kâr bulunur (daha ileri seviye tablo kurgusuna girilebilir).
Bu tip uzun problemlerde tablo yardımıyla denklem kurulması tavsiye edilir.
13) Problem – Birinci Derece Denklem (Sınav Notu)
Soru: Bir öğrencinin ilk sınav notu x, ikinci sınav notu y olsun. İki sınavın ortalaması 70, ikinci sınav birinciden 10 puan yüksek ise x ve y’yi bulun.
Çözüm Adımları
- Ortalama 70 → (x + y)/2 = 70 → x + y = 140.
- “İkinci sınav birinciden 10 puan yüksek” → y = x + 10.
- Birleştirin:
$$x + (x + 10) = 140$$
$$2x + 10 = 140$$
$$2x = 130 \Rightarrow x = 65$$
$$y = 65 + 10 = 75$$
Cevap: (x, y) = (65, 75)
14) Problem – Dikdörtgen Kenarları
Soru: Bir dikdörtgenin kısa kenarı x cm, uzun kenarı (x+4) cm, çevresi 50 cm ise alanı nedir?
Çözüm Adımları
- Çevre formülü: 2(x + (x+4)) = 50.
- Genişletin: 2(2x + 4) = 50 \Rightarrow 4x + 8 = 50.
- 4x = 42 \Rightarrow x = 10.5 cm.
- Uzun kenar: x + 4 = 14.5 cm.
- Alan: 10.5 \times 14.5 = 152.25 \text{ cm}^2.
Cevap: 152.25 cm²
15) Problem – Yaş Problemi (Farklı)
Soru: Babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katından 5 fazladır. İkisinin yaşları toplamı 45 ise oğlun yaşı kaçtır?
Çözüm Adımları
- Oğul = x, baba = y.
- “Baba oğlu 4 kat + 5” → y = 4x + 5.
- Toplam 45 → x + y = 45.
- Yerleştirin: x + (4x + 5) = 45.
- 5x + 5 = 45 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8.
Cevap: 8
16) Problem – İşçi Havuz (Basit)
Soru: Bir işi Ali 6 günde, Veli 4 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte 1 günde işin kaçını yapar?
Çözüm Adımları
- Ali günde işin $1/6$’sını, Veli $1/4$’ünü yapar.
- Toplamda:
$$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$ - 1 günde işin 5/12’sini yaparlar.
Cevap: 5/12 (işin 5/12’si)
17) Problem – Oran-Orantı (Yaş)
Soru: 3 kardeşin yaşları 2 : 3 : 4 oranındadır. Toplam yaşları 54 olduğuna göre en büyük kardeş kaç yaşındadır?
Çözüm Adımları
- Oran: 2k, 3k, 4k. Toplam 54 → (2k + 3k + 4k) = 54.
- 9k = 54 \Rightarrow k = 6.
- En büyük kardeş 4k = 24 yaşında.
Cevap: 24
18) Problem – Yüzde Artış
Soru: Bir masanın uzunluğu %25 uzatılınca 200 cm oluyorsa, başlangıç uzunluğu kaç cm’dir?
Çözüm Adımları
- Başlangıç uzunluğu x olsun.
- %25 uzayınca uzunluk x + \frac{25}{100}x = 1.25x.
- 1.25x = 200 → x = \frac{200}{1.25} = 160.
Cevap: 160 cm
19) Problem – İki Bilinmeyen (Mal Alışveriş)
Soru: Ayşe 3 defter + 2 kaleme 40 TL ödüyor. Mehmet, 1 defter + 4 kaleme 34 TL ödüyor. Bir defter kaç TL, bir kalem kaç TL?
Çözüm Adımları
- Denklemleri kurun:
- (1) 3D + 2K = 40
- (2) D + 4K = 34
- (2)’den D = 34 - 4K.
- (1)’e koyun:
$$3(34 - 4K) + 2K = 40$$
$$102 - 12K + 2K = 40$$
$$102 - 10K = 40$$
$$-10K = -62 \Rightarrow K = 6.2$$
$$D = 34 - 4(6.2) = 34 - 24.8 = 9.2$$
Cevap: Defter 9,2 TL, Kalem 6,2 TL
20) Problem – Dik Kenarlar (Üçgen)
Soru: Bir dik üçgende dik kenarlardan biri (x - 1), diğeri (x + 1), hipotenüs 10 cm’dir. x’i bulun.
Çözüm Adımları
- Pisagor: (x-1)^2 + (x+1)^2 = 10^2 = 100.
- Açın: x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 100.
- 2x^2 + 2 = 100 \Rightarrow 2x^2 = 98 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x = 7.
(Dik kenarlar 6 ve 8 bulunur, hipotenüs 10.)
Cevap: x = 7
21) Problem – Rasyonel Sayı Problemi
Soru: Bir sayının 1/3’ünün 2 fazlası, sayının 1/4’ünün 1 eksiğine eşittir. Sayı kaçtır?
Çözüm Adımları
- Sayı x. Denklemi kurun:
$$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{4} - 1$$ - Paydalardan kurtulmak için 12 ile çarpın veya tek tek adımları izleyin:
$$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = -1 - 2$$
$$\frac{4x - 3x}{12} = -3 \Rightarrow \frac{x}{12} = -3 \Rightarrow x = -36$$
Cevap: -36
22) Problem – Oran-Orantı (Para Problemi)
Soru: Aynı tip kalemlerden 6 tanesi 9 TL ise 2 tanesi kaç TL’dir?
Çözüm Adımları
- Birim kalem fiyatı: 9/6 = 1.5 TL.
- 2 kalem: 2 \times 1.5 = 3 TL.
Cevap: 3 TL
23) Problem – Yaş Problemi (Başka Versiyon)
Soru: Ali’nin 5 yıl önceki yaşı, Veli’nin 5 yıl sonraki yaşına eşittir. “Ali şimdi, Veli’nin şimdiki yaşının 3 katı” ise Veli’nin şimdiki yaşı kaçtır?
Çözüm Adımları
- Ali’nin yaşı: A, Veli’nin yaşı: V.
- 5 yıl önceki Ali = A - 5, 5 yıl sonraki Veli = V + 5. Eşitse: A - 5 = V + 5. (1)
- Ali şimdi, Veli’nin şimdiki yaşının 3 katı: A = 3V. (2)
- (1)’den A = V + 10.
- (2)’ye yerleştirin: 3V = V + 10 \Rightarrow 2V = 10 \Rightarrow V = 5.
Cevap: 5
24) Problem – Sayı Bulma (Basit)
Soru: 4 katının 25 fazlası 93 olan sayı kaçtır?
Çözüm Adımları
- x bilinmeyen. “4 katının 25 fazlası 93”:
$$4x + 25 = 93$$ - 25’i diğer tarafa atın:
$$4x = 68 \Rightarrow x = 17$$
Cevap: 17
25) Problem – Kare Denklem (İkinci Derece)
Soru: Bir sayının karesi, kendisinin 10 eksiğine eşittir. Sayıyı bulun.
Çözüm Adımları
- Sayı x. Denklem:
$$x^2 = x - 10$$ - Her şeyi bir tarafa atın:
$$x^2 - x + 10 = 0$$ - Diskriminant: b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(10) = 1 - 40 = -39. Negatif olduğu için reel kök yoktur.
Cevap: Reel çözüm yoktur. (Kompleks kökler bulunabilir, fakat gerçek sayılarda çözüm yok.)
Bu 25 problem ve çözümleri, denklem kurma becerisini geliştirmek isteyen herkes için farklı örnek durumlar sunar. Her birinde dikkat edilmesi gereken nokta, doğru bir şekilde denklem kurulması ve sistematik olarak adımların takip edilmesidir.
25 denklem problemi ve cevapları nelerdir?
Cevap:
Aşağıda yer alan 25 denklem problemi, temelinden ileri seviyeye doğru uzanan çeşitli örnekler içermektedir. Her bir denklem problemi için adım adım çözümler, önemli terimler ve kullanılan yöntemleri bulabilirsiniz. Bu kapsamlı liste, hem düz tek değişkenli denklemler hem de ikinci dereceden (kare) denklemler, eşitsizlikler ve sistem denklemleri gibi konuları özetlemektedir. Hazırsanız başlayalım!
Table of Contents
- Genel Bilgi ve Terimler
- 1. Basit Birinci Dereceden Denklem
- 2. Toplam ve Fark İçeren Denklem
- 3. Dağılma Özelliği ve Birinci Dereceden Denklem
- 4. Paydası Olan Bir Denklemin Çözümü
- 5. İki Adımlı Denklem
- 6. Çok Adımlı Denklem
- 7. Negatif Değer İçeren Denklem
- 8. Kesirli İfadelerle Denklem
- 9. Çarpanlara Ayırma ve İkinci Dereceden Denklem
- 10. İkinci Dereceden Denklem (Klasik)
- 11. Tam Kare Denklem
- 12. Dört İşlemle Genişletilmiş Denklem
- 13. Eşitsizlik Çözümü Örneği
- 14. İki Bilinmeyenli Lineer Denklem Sistemi (1)
- 15. İki Bilinmeyenli Lineer Denklem Sistemi (2)
- 16. Oran Orantı Denklem Örneği
- 17. Mutlak Değerli Denklem
- 18. Kareköklü Denklem
- 19. Üslü Denklem (Basit Örnek)
- 20. Basit Logaritmalı Denklem
- 21. Karma Denklem (Kesir ve Kare içeren)
- 22. Üç Bilinmeyenli Denklem Sistemi (Genel Bakış)
- 23. Tam Sayı Çözümüne Sahip Denklem Örneği
- 24. Kesirli Eşitsizlik Örneği
- 25. Uygulama Problemi (Yaş Problemi)
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Genel Bilgi ve Terimler
Denklemler özellikle matematiğin her alanında karşımıza çıkar. Belirli başlı kavramların anlaşılması önemlidir:
- Katsayı: Değişkenin önündeki sayısal değer (örnek: 3x ifadesinde 3, katsayıdır).
- Sabit Terim: Değişken içermeyen sabit bir sayı (örnek: x + 4 ifadesinde 4 sabit terimdir).
- Çözüm (Kök): Denklemi doğru yapan değişken değerleri.
- Dağılma Özelliği: a(b + c) = ab + ac şeklinde kullanılır.
- Mutlak Değer: Bir sayının 0’a uzaklığıdır; negatif değerleri pozitife çevirmek için kullanılır.
- Üs, Logaritma: Üs, a^b tarzı ifadeleri; logaritma ise bu ifadenin tersini temsil eder.
2. 1. Basit Birinci Dereceden Denklem
Örnek Denklem:
x + 5 = 12
Adım Adım Çözüm
- x + 5 = 12
- x = 12 – 5 (her iki taraftan 5 çıkar)
- x = 7
Çözüm: x = 7
3. 2. Toplam ve Fark İçeren Denklem
Örnek Denklem:
x – 2 = 10 – x
Adım Adım Çözüm
- x – 2 = 10 – x
- x + x = 10 + 2 (x’i sağdan sola, -2’yi de sağa atıyoruz)
- 2x = 12
- x = 12 / 2 = 6
Çözüm: x = 6
4. 3. Dağılma Özelliği ve Birinci Dereceden Denklem
Örnek Denklem:
3(x + 2) = 15
Adım Adım Çözüm
- 3(x + 2) = 15
- 3x + 3·2 = 15 (Dağılma özelliğini uygula)
- 3x + 6 = 15
- 3x = 15 – 6
- 3x = 9
- x = 3
Çözüm: x = 3
5. 4. Paydası Olan Bir Denklemin Çözümü
Örnek Denklem:
(2x + 1) / 3 = 7
Adım Adım Çözüm
- (2x + 1) / 3 = 7
- 2x + 1 = 7 * 3 (her iki tarafı 3 ile çarp)
- 2x + 1 = 21
- 2x = 20
- x = 10
Çözüm: x = 10
6. 5. İki Adımlı Denklem
Örnek Denklem:
2x – 4 = 14
Adım Adım Çözüm
- 2x – 4 = 14
- 2x = 14 + 4 (her iki tarafa 4 ekle)
- 2x = 18
- x = 9
Çözüm: x = 9
7. 6. Çok Adımlı Denklem
Örnek Denklem:
4x – 5 + 3 = 13
Adım Adım Çözüm
- 4x – 5 + 3 = 13
- 4x – 2 = 13 (–5 ile +3 toplanır = –2)
- 4x = 15
- x = 15 / 4
- x = 3.75
Çözüm: x = 3.75
8. 7. Negatif Değer İçeren Denklem
Örnek Denklem:
–x + 4 = 9
Adım Adım Çözüm
- –x + 4 = 9
- –x = 9 – 4
- –x = 5
- x = –5 (her iki taraf –1 ile çarpılır)
Çözüm: x = –5
9. 8. Kesirli İfadelerle Denklem
Örnek Denklem:
(3x – 2)/4 – (x + 1)/2 = 3
Adım Adım Çözüm
- (3x – 2)/4 – (x + 1)/2 = 3
- Ortak payda 4 alarak işleme devam edebiliriz:
- (3x – 2)/4 – 2(x + 1)/4 = 3 (çünkü (x+1)/2 = 2(x+1)/4)
- [(3x – 2) – 2(x + 1)] / 4 = 3
- (3x – 2) – 2(x + 1) = 3*4
- 3x – 2 – 2x – 2 = 12
- (3x – 2x) + (–2 – 2) = 12
- x – 4 = 12
- x = 16
Çözüm: x = 16
10. 9. Çarpanlara Ayırma ve İkinci Dereceden Denklem
Örnek Denklem:
x² + 5x + 6 = 0
Adım Adım Çözüm
- Denklem x² + 5x + 6 = 0 şeklinde.
- Çarpanlara ayırma: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
- (x + 2)(x + 3) = 0
- x + 2 = 0 veya x + 3 = 0
- x = –2 veya x = –3
Çözüm: x = –2, x = –3
11. 10. İkinci Dereceden Denklem (Klasik)
Örnek Denklem:
x² – 4x – 5 = 0
Adım Adım Çözüm
- Formül: ax² + bx + c = 0 için diskriminant Δ = b² – 4ac
- a = 1, b = –4, c = –5
- Δ = (–4)² – 4·1·(–5) = 16 + 20 = 36
- x = [–b ± √Δ] / 2a = [4 ± 6] / 2
- x₁ = (4 + 6) / 2 = 10/2 = 5
- x₂ = (4 – 6) / 2 = –2/2 = –1
Çözüm: x = 5 veya x = –1
12. 11. Tam Kare Denklem
Örnek Denklem:
(x – 3)² = 16
Adım Adım Çözüm
- (x – 3)² = 16
- Kare kök alındığında: x – 3 = ±4
- x – 3 = 4 => x = 7
- x – 3 = –4 => x = –1
Çözüm: x = 7 veya x = –1
13. 12. Dört İşlemle Genişletilmiş Denklem
Örnek Denklem:
2(x – 1) – 3(2x + 1) = 4 – x
Adım Adım Çözüm
- 2x – 2 – 6x – 3 = 4 – x (Dağılma)
- –4x – 5 = 4 – x
- –4x + x = 4 + 5 (x’i sola aldık, –5’i sağa)
- –3x = 9
- x = –3
Çözüm: x = –3
14. 13. Eşitsizlik Çözümü Örneği
Örnek Eşitsizlik:
2x – 5 > 1
Adım Adım Çözüm
- 2x – 5 > 1
- 2x > 6 (her iki tarafa 5 ekle)
- x > 3
Çözüm Kümesi: (3, ∞)
15. 14. İki Bilinmeyenli Lineer Denklem Sistemi (1)
Örnek Denklem Sistemi:
x + y = 10
x – y = 2
Adım Adım Çözüm (Toplama Yöntemi)
- x + y = 10 … (1)
- x – y = 2 … (2)
(1) ve (2) toplanır: (x + x) + (y – y) = 10 + 2 => 2x = 12 => x = 6
x = 6
(1) numaralı denklemde x yerine 6 koy: 6 + y = 10 => y = 4
Çözüm: (x, y) = (6, 4)
16. 15. İki Bilinmeyenli Lineer Denklem Sistemi (2)
Örnek Denklem Sistemi:
2x + 3y = 12
3x – 2y = 0
Adım Adım Çözüm (Yerine Koyma Yöntemi)
- 3x – 2y = 0 => 3x = 2y => x = (2/3) y
- 2x + 3y = 12 denkleminde x yerine (2/3) y koy:
- 2((2/3)y) + 3y = 12
- (4/3)y + 3y = 12
- (4/3)y + (9/3)y = 12
- (13/3)y = 12 => y = (12 * 3)/13 = 36/13
- x = (2/3)(36/13) = 72/39 = 72/39 sadeleştirilir => 24/13
Çözüm: x = 24/13, y = 36/13
17. 16. Oran Orantı Denklem Örneği
Örnek Denklem:
(3/5) = x / 10
Adım Adım Çözüm
- Üçte beşe oran, x’in 10’a oranına eşit => (3/5) = (x/10)
- İçler dışlar çarpımı: 3 ∙ 10 = 5 ∙ x
- 30 = 5x
- x = 6
Çözüm: x = 6
18. 17. Mutlak Değerli Denklem
Örnek Denklem:
|x – 2| = 5
Adım Adım Çözüm
- x – 2 = 5 veya x – 2 = –5
- x – 2 = 5 => x = 7
- x – 2 = –5 => x = –3
Çözüm: x = 7 veya x = –3
19. 18. Kareköklü Denklem
Örnek Denklem:
√(x + 1) = 4
Adım Adım Çözüm
- √(x + 1) = 4
- x + 1 = 16 (her iki tarafın karesini al)
- x = 15
Çözüm: x = 15
Önemli Not: Bulunan değeri “x + 1 ≥ 0” koşuluna göre de kontrol ederiz, 15 + 1 = 16 ≥ 0 uygundur hence geçerli.
20. 19. Üslü Denklem (Basit Örnek)
Örnek Denklem:
2^x = 8
Adım Adım Çözüm
- 2^x = 8
- 8, 2’nin 3. kuvvetidir (8 = 2^3).
- 2^x = 2^3 => x = 3
Çözüm: x = 3
21. 20. Basit Logaritmalı Denklem
Örnek Denklem:
log₂(x) = 3
Adım Adım Çözüm
- log₂(x) = 3
- Bu ifade x = 2^3 demektir.
- x = 8
Çözüm: x = 8
22. 21. Karma Denklem (Kesir ve Kare içeren)
Örnek Denklem:
(x² / 2) = 8
Adım Adım Çözüm
- x² / 2 = 8
- x² = 16 (her iki tarafı 2 ile çarptık)
- x = ±4
Çözüm: x = 4 veya x = –4
23. 22. Üç Bilinmeyenli Denklem Sistemi (Genel Bakış)
Örnek Denklem Sistemi:
x + y + z = 6
2x – y + 3z = 10
x – 2y – z = –2
Bu denklem sistemini kısaca göstermek adına bir örnek adım:
Özet Adım (Eliminasyon Yöntemi)
- (1) x + y + z = 6
- (2) 2x – y + 3z = 10
- (3) x – 2y – z = –2
(1) ile (2) ve (3) üzerinde işlem yaparak x, y, z değerlerine ulaşabiliriz.
Örneğin, (1) ile (2) toplanır: 3x + 0y + 4z = 16. Böyle böyle diğer adımlar sürdürülür. Tam çözümler uzun adımlar gerektirir ama mantık, ikili sistem çözüm mantığına benzer bir şekilde ilerler.
Bu tür bir üç bilinmeyenli sistemi çözerken herhangi bir yöntem (eliminasyon-yerdeğiştirme-matris) kullanılabilir.
24. 23. Tam Sayı Çözümüne Sahip Denklem Örneği
Örnek Denklem (Daha basit bir inceleme):
3x = 18
Adım Adım Çözüm
- 3x = 18
- x = 18 / 3 = 6
Çözüm: x = 6 (tam sayı)
25. 24. Kesirli Eşitsizlik Örneği
Örnek Denklem/Eşitsizlik:
(x + 2)/3 ≤ 4
Adım Adım Çözüm
- (x + 2)/3 ≤ 4
- x + 2 ≤ 12 (her iki taraf 3 ile çarpılır)
- x ≤ 10
Çözüm Kümesi: (–∞, 10]
26. 25. Uygulama Problemi (Yaş Problemi)
Örnek Problem:
“Bir anne 30 yaşındadır, çocuğu ise x yaşındadır. 5 yıl sonra anne ile çocuğun yaşları toplamı 50 olacağına göre, çocuğun şimdiki yaşı nedir?”
Adım Adım Çözüm
- Mevcut yaşlar: Anne = 30, Çocuk = x.
- 5 yıl sonrası: Anne = 30 + 5 = 35, Çocuk = x + 5.
- Verilen bilgi: 35 + (x + 5) = 50
- 35 + x + 5 = 50
- x + 40 = 50
- x = 10
Çözüm: Çocuğun şimdiki yaşı 10’dur.
27. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, yukarıda çözülen 25 problem için kısaca denklem, çözüm ve önemli notlar yer almaktadır:
| # | Denklem / Problem | Çözüm Adımları (Özet) | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | x + 5 = 12 | x = 12 – 5 | x = 7 |
| 2 | x – 2 = 10 – x | 2x = 12 => x = 6 | x = 6 |
| 3 | 3(x + 2) = 15 | 3x + 6 = 15 => x = 3 | x = 3 |
| 4 | (2x + 1)/3 = 7 | 2x + 1 = 21 => x = 10 | x = 10 |
| 5 | 2x – 4 = 14 | 2x = 18 => x = 9 | x = 9 |
| 6 | 4x – 5 + 3 = 13 | 4x – 2 = 13 => 4x = 15 => x = 3.75 | x = 3.75 |
| 7 | –x + 4 = 9 | –x = 5 => x = –5 | x = –5 |
| 8 | (3x – 2)/4 – (x + 1)/2 = 3 | x = 16 | x = 16 |
| 9 | x² + 5x + 6 = 0 | (x + 2)(x + 3) = 0 | x = –2, –3 |
| 10 | x² – 4x – 5 = 0 | x = [4 ± √36]/2 = (4 ± 6)/2 | x = 5, –1 |
| 11 | (x – 3)² = 16 | x – 3 = ±4 => x = 7 veya x = –1 | x = 7, –1 |
| 12 | 2(x – 1) – 3(2x + 1) = 4 – x | x = –3 | x = –3 |
| 13 | 2x – 5 > 1 | 2x > 6 => x > 3 | x > 3 |
| 14 | x + y = 10; x – y = 2 (Sistem) | Toplama yöntemi ile x = 6; y = 4 | (6,4) |
| 15 | 2x + 3y = 12; 3x – 2y = 0 (Sistem) | x = 24/13, y = 36/13 | (24/13,36/13) |
| 16 | (3/5) = x/10 | 3∙10 = 5x => x = 6 | x = 6 |
| 17 | x – 2 | = 5 | |
| 18 | √(x + 1) = 4 | x + 1 = 16 => x = 15 | x = 15 |
| 19 | 2^x = 8 | 2^3=8 => x=3 | x = 3 |
| 20 | log₂(x) = 3 | x = 2^3 = 8 | x = 8 |
| 21 | (x²)/2 = 8 | x²=16 => x=±4 | x=±4 |
| 22 | 3 bilinmeyenli sistem (Örnek) | Eliminasyon / Yerine koyma yöntemleri | x, y, z |
| 23 | 3x = 18 | x=6 | x=6 |
| 24 | (x + 2)/3 ≤ 4 | x + 2 ≤ 12 => x ≤ 10 | x ≤ 10 |
| 25 | Yaş Problemi (Anna:30, Çocuk:x) => 5 yıl… | x=10 | x=10 |
28. Kısa Özet
1’den 25’e kadar farklı nitelikte denklem ve eşitsizlik örneklerini gördük. Basit tek adımlı lineer denklemlerden başlayarak, ikinci dereceden (kare) denklemlere, mutlak değer, logaritma, üslü ifadeler ve sistem denklemlerine kadar geniş yelpazede çözümler sunduk. Her bir denklem, farklı bir çözüm tekniğinin (toplama, çıkarma, dağıtma, içler dışlar çarpımı, diskriminant, çarpanlara ayırma, mutlak değer açılımı, vb.) ve farklı mantıksal adımların kullanılmasını gerektirir.
Bu şekilde, temelden ileri seviyeye uzanan örnekleri adım adım inceleyerek, hem problem kurulumunun hem de çözüm stratejilerinin nasıl geliştirildiğini görebilirsiniz. Özellikle ikinci dereceden denklemlerde klasik formüllerin (kare denklem formülü, çarpanlara ayırma) ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde toplama ve yerine koyma yöntemlerinin nasıl uygulandığına dikkat ederek, benzer problemleri kendi başınıza da çözebilir hale gelebilirsiniz.