24 ile iki basamaklı 3A sayısı aralarında asaldır.
Buna göre, A’nın alabileceği rakamların toplamı kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 12
D) 13
Aralarında Asal Sayılar ve Bölünebilme Kuralları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki pozitif tam sayının 1’den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Bir sayının 24 ile aralarında asal olabilmesi için, 24’ün asal çarpanları olan 2 ve 3’e tam bölünmemesi (yani hem tek sayı olması hem de rakamları toplamının 3’ün katı olmaması) gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 24 Sayısının Asal Çarpanlarını Belirleme
24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
24 = 2^3 \cdot 3
Dolayısıyla iki basamaklı 3A sayısı ne 2’ye ne de 3’e bölünebilir.
Adım 2 — 2’ye Bölünmeme Şartını Uygulama
3A sayısının 2’ye bölünmemesi için birler basamağındaki A rakamı tek sayı olmalıdır:
A \in \{1, 3, 5, 7, 9\}
Bu durumda oluşabilecek sayılar 31, 33, 35, 37, 39’dur.
Adım 3 — 3’e Bölünmeme Şartını İnceleme ve A Değerlerini Toplama
Oluşan sayıların rakamları toplamının 3’ün katı olmaması gerekir:
- A = 1 \implies 31 (3 + 1 = 4, 3’e bölünmez) \rightarrow Sağlar
- A = 3 \implies 33 (3’e tam bölünür) \rightarrow Sağlamaz
- A = 5 \implies 35 (3 + 5 = 8, 3’e bölünmez) \rightarrow Sağlar
- A = 7 \implies 37 (3 + 7 = 10, 3’e bölünmez) \rightarrow Sağlar
- A = 9 \implies 39 (3’e tam bölünür) \rightarrow Sağlamaz
A’nın alabileceği değerler kümesi \{1, 5, 7\} olur. Bu rakamların toplamı:
1 + 5 + 7 = 13
CEVAP: D) 13 (A \in \{1, 5, 7\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Aralarında asallık sorularında verilen sayının asal çarpanlarını bulmak en hızlı yoldur. Diğer sayının asal olması gerekmez; sadece verilen sayının asal bölenlerine (burada 2 ve 3) bölünmemesi yeterlidir (örneğin 35 asal değildir ancak 24 ile aralarında asaldır).