22 ÖRNEK-13 integralinin eşitini bulunuz

YKS TYT
1

22 ÖRNEK-13 integralinin eşitini bulunuz.

!Resim [Link Silindi]

2

22 ÖRNEK-13 integralinin eşitini bulunuz

Önemli Noktalar

  • İntegral, terim terim ayrılarak kolayca hesaplanabilir.
  • Üslü ifadeler kurala uygun olarak integral alınır: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n ≠ -1).
  • Negatif üsler dikkatle işlenmelidir.
\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \right) dx = \int \left( 2x^{\frac{1}{2}} - x^{-2} + x^{-3} \right) dx

İçindekiler

  1. Adım Adım Integralin Çözümü
  2. Sonuç ve Sabit Terim
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Integralin Çözümü

İntegrali terim terim ele alalım:

  1. 2x^{1/2} ifadesinin integrali:
\int 2x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \int x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}
  1. -\frac{1}{x^{2}} = -x^{-2} ifadesinin integrali:
\int -x^{-2} dx = - \int x^{-2} dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = - \frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}
  1. \frac{1}{x^{3}} = x^{-3} ifadesinin integrali:
\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2} x^{-2} = -\frac{1}{2 x^{2}}

Sonuç ve Sabit Terim

Üç terimin toplam integral sonucu:

\int \left( 2\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \right) dx = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C

Burada C entegrasyon sabitidir.

Özet Tablo

Terim İşlem Sonuç
2\sqrt{x} = 2x^{1/2} \int 2x^{1/2} dx \frac{4}{3} x^{3/2}
-\frac{1}{x^2} = -x^{-2} \int -x^{-2} dx \frac{1}{x}
\frac{1}{x^3} = x^{-3} \int x^{-3} dx -\frac{1}{2x^{2}}

Sık Sorulan Sorular

1. Üslü ifadelerde integral alırken hangi kural geçerlidir?
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1. Bu kural tüm reel n için geçerlidir.

2. n = -1 durumunda integral nasıl hesaplanır?
\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C şeklindedir.

3. Negatif üsler içeren terimler nasıl yorumlanır?
Negatif üs, ifadenin kesirli formunu belirtir, integral alırken üs kuralı aynen uygulanır.

Sonraki Adımlar

Farklı integral tipleriyle ilgili daha fazla örnek ister misiniz? Veya üstel fonksiyonlar ve logaritma integralleri konusunda rehber oluşturmamı ister misiniz?

@Mr.Yasin

3

22 ÖRNEK-13 integralinin eşitini bulunuz

Önemli Noktalar:

  • Güç Kuralı: \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;n\neq -1
  • Negatif Kuvvetler: \int x^{-m}\,dx = \dfrac{x^{-m+1}}{-m+1}+C
  • Sabit Terim: Her belirsiz integral ifade sonunda mutlaka “$+C$” içerir

Doğru Sonuç:
\displaystyle \int\bigl(2\sqrt{x}-\tfrac{1}{x^2}+\tfrac{1}{x^3}\bigr)\,dx = \frac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

İçindekiler:

  1. Çözüm Adımları
  2. Güç Kuralı Hatırlatma
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm Adımları

  1. Terimleri güç biçimine çevir:
    • 2\sqrt{x}=2x^{\tfrac12}
    • -\frac1{x^2}=-x^{-2}
    • \frac1{x^3}=x^{-3}
  2. Her birini \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} formülüne uygula:
    \int 2x^{\tfrac12}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32}=\frac{4}{3}x^{\tfrac32},
    \int(-x^{-2})\,dx=-\frac{x^{-1}}{-1}=x^{-1}=\frac{1}{x},
    \int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^2}.
  3. Sonuçları topla ve sabit C ekle:
    \frac{4}{3}x^{\tfrac32}+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C.

Güç Kuralı Hatırlatma

  • n\neq -1 için \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • n=-1 olduğunda \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.

Karşılaştırma Tablosu

Durum İntegral
n\neq -1 \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C
n=-1 \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C

Özet Tablosu

Terim Güç Biçimi İntegral
2\sqrt{x} 2x^{\tfrac12} \frac{4}{3}x^{\tfrac32}
-\frac{1}{x^2} -x^{-2} +\;x^{-1}
\frac{1}{x^3} x^{-3} -\;\tfrac{1}{2}x^{-2}
Genel Sonuç \displaystyle \frac{4}{3}x^{\tfrac32}+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

SSS

S1: Negatif kuvvetli terimlerde formülü nasıl uygulamalıyım?
C1: Aynı güç kuralı geçerlidir; n=-2 için \int x^{-2}=\frac{x^{-1}}{-1}.

S2: Neden \ln|x| çıkmadı?
C2: n=-1 durumunda \ln|x| ortaya çıkar. Bizim terimler n=-1 içermiyor.

S3: İntegraldeki C neyi temsil eder?
C3: Belirsiz integrallerde “başlangıç sabiti” olarak kullanılır.

S4: $x^{\tfrac32}$’nin bağıntısı nedir?
C4: Güç fonksiyonlarının hacim ve alan problemlerinde sıkça karşımıza çıkar.

Üç adet benzer örnek çözmemi ister misiniz?
@Mr.Yasin